定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

1. 問題の内容

定積分 $\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選びます。

2. 解き方の手順

まず、不定積分 $\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ を計算します。

これは、$\arcsin(x)$ の微分が $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ であることから、

$\int \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \arcsin(x) + C$

となります（ここで、$C$は積分定数）。

次に、定積分を計算します。

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = [\arcsin(x)]_{0}^{\frac{1}{2}} = \arcsin(\frac{1}{2}) - \arcsin(0)$

$\arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ であり、$\arcsin(0) = 0$ であるから、

$\int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = \frac{\pi}{6} - 0 = \frac{\pi}{6}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{6}$