$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とするとき、 $(\frac{1}{125})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその値を求める。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$とするとき、 $(\frac{1}{125})^{20}$を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるか、またその値を求める。

2. 解き方の手順

まず、 $(\frac{1}{125})^{20}$の常用対数を計算する。

$(\frac{1}{125})^{20} = (125)^{-20} = (5^3)^{-20} = 5^{-60}$

$\log_{10}(\frac{1}{125})^{20} = \log_{10} 5^{-60} = -60 \log_{10} 5$

ここで、$\log_{10} 5 = \log_{10} \frac{10}{2} = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

よって、$\log_{10}(\frac{1}{125})^{20} = -60 \times 0.6990 = -41.94$

この値を$-41.94 = -42 + 0.06$と整数部分と小数部分に分ける。小数第$n$位に初めて0でない数字が現れるとき、$-n$が$\log_{10}$の値の整数部分となる。

したがって、$n = 42$である。

次に、初めて0でない数字の値を求める。

$\log_{10} x = 0.06$とおくと、$x = 10^{0.06}$

問題文より、$log_{10}2 = 0.3010$、$log_{10}3 = 0.4771$であるので、これらの値と$0.06$を比較する。

$0.06$は$\log_{10} 1 = 0$と$\log_{10} 2 = 0.3010$の間にあるので、$x$は1と2の間にある。

$10^{0.06}=1.148...$

$\log_{10} 1.1 = \log_{10} \frac{11}{10} = \log_{10} 11 - \log_{10} 10 = \log_{10} 11 -1$

$\log_{10} 11 = \log_{10} \frac{100}{9} \times \frac{99}{90} \times 1.1$

$\log_{10} x = 0.06$について、$10^{0.06}$の値が知りたい。

$\log_{10} 1 = 0$, $\log_{10} 2 = 0.3010$, $\log_{10} 3 = 0.4771$より、1.xという数になると予想できる。

$\log_{10} 1.148...$は難しいので、概算で求める。

$10^{0.06}$は1と2の間にあるので、1.xとなる。

$x = 10^{0.06}$として、$y = 10^{0.06}$を考える。

$\log_{10} 1 = 0$, $\log_{10} 1.1 = \log_{10} \frac{11}{10}$

$\log_{10} \frac{11}{10}$

$y= 10^{0.06} \approx 1.15$

$1.1^{2} = 1.21$

$\log_{10}1.1^{2}= 2\log_{10} 1.1 = 0.0828 < 2 \log_{10} 2 < 0.06$

より精密な値を求めることを諦めて、1と置くと、$1.148...$という値になる。

3. 最終的な答え

小数第42位に初めて0でない数字が現れ、その値は1である。