2次式 $5x^2 - 2x + 1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

1. 問題の内容

2次式 $5x^2 - 2x + 1$ を複素数の範囲で因数分解せよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式 $5x^2 - 2x + 1 = 0$ の解を求める。

解の公式を用いて解を求める。解の公式は、2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の解が、

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

で与えられる。この問題では、$a = 5$, $b = -2$, $c = 1$ であるから、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 1}}{2 \cdot 5} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{10} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{10} = \frac{2 \pm 4i}{10} = \frac{1 \pm 2i}{5}$

よって、解は $x = \frac{1 + 2i}{5}$ と $x = \frac{1 - 2i}{5}$ である。

複素数 $\alpha$, $\beta$ を解に持つ2次式は、$a(x - \alpha)(x - \beta)$ と因数分解できる。

今回は解が $\frac{1 + 2i}{5}$ と $\frac{1 - 2i}{5}$ であり、$a = 5$ なので、

$5(x - \frac{1 + 2i}{5})(x - \frac{1 - 2i}{5})$

$= 5(x^2 - (\frac{1 + 2i}{5} + \frac{1 - 2i}{5})x + \frac{1 + 2i}{5}\frac{1 - 2i}{5})$

$= 5(x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1 + 4}{25})$

$= 5(x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{5}{25})$

$= 5(x^2 - \frac{2}{5}x + \frac{1}{5})$

$= 5x^2 - 2x + 1$

したがって、$5x^2 - 2x + 1 = 5(x - \frac{1 + 2i}{5})(x - \frac{1 - 2i}{5})$

3. 最終的な答え

$5(x - \frac{1 + 2i}{5})(x - \frac{1 - 2i}{5})$