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曲線 $y = 2x$ ($0 \le x \le 1$) の長さを求める問題です。

解析学曲線長さ積分
2025/5/17

1. 問題の内容

曲線 y=2xy = 2x (0≤x≤10 \le x \le 1) の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線 y=f(x)y = f(x) (a≤x≤ba \le x \le b) の長さ LL は、以下の公式で求められます。
L=∫ab1+(f′(x))2dxL = \int_a^b \sqrt{1 + (f'(x))^2} dx
この問題では、f(x)=2xf(x) = 2x, a=0a = 0, b=1b = 1 なので、まず f′(x)f'(x) を求めます。
f′(x)=2f'(x) = 2 となります。
したがって、求める曲線の長さは、
L=∫011+(2)2dx=∫011+4dx=∫015dx=5∫01dx=5[x]01=5(1−0)=5L = \int_0^1 \sqrt{1 + (2)^2} dx = \int_0^1 \sqrt{1 + 4} dx = \int_0^1 \sqrt{5} dx = \sqrt{5} \int_0^1 dx = \sqrt{5} [x]_0^1 = \sqrt{5} (1 - 0) = \sqrt{5}
となります。

3. 最終的な答え

5\sqrt{5}

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