問題は、次の2つの不定方程式の整数解をすべて求めることです。 (1) $12x - 17y = 2$ (2) $71x + 32y = 3$

1. 問題の内容

問題は、次の2つの不定方程式の整数解をすべて求めることです。

(1) $12x - 17y = 2$

(2) $71x + 32y = 3$

2. 解き方の手順

(1) $12x - 17y = 2$ の解き方：

まず、特殊解を求めます。

$12x - 17y = 1$ の整数解を探します。ユークリッドの互除法を用いると、

$17 = 12 \times 1 + 5$

$12 = 5 \times 2 + 2$

$5 = 2 \times 2 + 1$

よって

$1 = 5 - 2 \times 2 = 5 - (12 - 5 \times 2) \times 2 = 5 \times 5 - 12 \times 2 = (17 - 12 \times 1) \times 5 - 12 \times 2 = 17 \times 5 - 12 \times 7$

したがって、$12 \times (-7) - 17 \times (-5) = 1$ となります。

よって、$12 \times (-14) - 17 \times (-10) = 2$ となります。

特殊解は $(x, y) = (-14, -10)$ です。

一般解は、

$12(x + 14) - 17(y + 10) = 0$

$12(x + 14) = 17(y + 10)$

12と17は互いに素なので、$x + 14 = 17k$、$y + 10 = 12k$ (kは整数)

$x = 17k - 14$

$y = 12k - 10$

(2) $71x + 32y = 3$ の解き方：

まず、特殊解を求めます。

$71x + 32y = 1$ の整数解を探します。ユークリッドの互除法を用いると、

$71 = 32 \times 2 + 7$

$32 = 7 \times 4 + 4$

$7 = 4 \times 1 + 3$

$4 = 3 \times 1 + 1$

よって

$1 = 4 - 3 \times 1 = 4 - (7 - 4 \times 1) \times 1 = 4 \times 2 - 7 \times 1 = (32 - 7 \times 4) \times 2 - 7 \times 1 = 32 \times 2 - 7 \times 9 = 32 \times 2 - (71 - 32 \times 2) \times 9 = 32 \times 20 - 71 \times 9$

したがって、$71 \times (-9) + 32 \times (20) = 1$ となります。

よって、$71 \times (-27) + 32 \times (60) = 3$ となります。

特殊解は $(x, y) = (-27, 60)$ です。

一般解は、

$71(x + 27) + 32(y - 60) = 0$

$71(x + 27) = -32(y - 60)$

71と32は互いに素なので、$x + 27 = -32k$、$y - 60 = 71k$ (kは整数)

$x = -32k - 27$

$y = 71k + 60$

3. 最終的な答え

(1) $x = 17k - 14, y = 12k - 10$ (kは整数)

(2) $x = -32k - 27, y = 71k + 60$ (kは整数)