2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、以下の式の値を求める。 (1) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$ (2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$ (3) $\alpha^2 + \beta^2$ (4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$ (5) $\alpha^3 + \beta^3$

1. 問題の内容

2次方程式 $2x^2 - 3x + 8 = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とするとき、以下の式の値を求める。

(1) $\alpha + \beta$, $\alpha \beta$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2$

(3) $\alpha^2 + \beta^2$

(4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta}$

(5) $\alpha^3 + \beta^3$

2. 解き方の手順

まず、2次方程式の解と係数の関係から、$\alpha + \beta$と$\alpha \beta$の値を求める。

2次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の2つの解を$\alpha$、$\beta$とすると、解と係数の関係より、

$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}$

$\alpha \beta = \frac{c}{a}$

今回の2次方程式は$2x^2 - 3x + 8 = 0$なので、$a = 2$, $b = -3$, $c = 8$となる。

したがって、

$\alpha + \beta = -\frac{-3}{2} = \frac{3}{2}$

$\alpha \beta = \frac{8}{2} = 4$

(1) $\alpha + \beta = \frac{3}{2}$、$\alpha \beta = 4$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = \alpha \beta (\alpha + \beta) = 4 \cdot \frac{3}{2} = 6$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha \beta = (\frac{3}{2})^2 - 2 \cdot 4 = \frac{9}{4} - 8 = \frac{9}{4} - \frac{32}{4} = -\frac{23}{4}$

(4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = \frac{\beta^2 + \alpha^2}{\alpha \beta} = \frac{\alpha^2 + \beta^2}{\alpha \beta} = \frac{-\frac{23}{4}}{4} = -\frac{23}{16}$

(5) $\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)(\alpha^2 - \alpha \beta + \beta^2) = (\alpha + \beta)((\alpha + \beta)^2 - 3\alpha \beta) = \frac{3}{2}((\frac{3}{2})^2 - 3 \cdot 4) = \frac{3}{2}(\frac{9}{4} - 12) = \frac{3}{2}(\frac{9}{4} - \frac{48}{4}) = \frac{3}{2} \cdot (-\frac{39}{4}) = -\frac{117}{8}$

3. 最終的な答え

(1) $\alpha + \beta = \frac{3}{2}$, $\alpha \beta = 4$

(2) $\alpha^2 \beta + \alpha \beta^2 = 6$

(3) $\alpha^2 + \beta^2 = -\frac{23}{4}$

(4) $\frac{\beta}{\alpha} + \frac{\alpha}{\beta} = -\frac{23}{16}$

(5) $\alpha^3 + \beta^3 = -\frac{117}{8}$