次の3つの式をそれぞれ因数分解する問題です。 (1) $x^2 - 2y^2 - xy + 3(yz + zx)$ (2) $b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc$ (3) $a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd$

1. 問題の内容

次の3つの式をそれぞれ因数分解する問題です。

(1) $x^2 - 2y^2 - xy + 3(yz + zx)$

(2) $b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc$

(3) $a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd$

2. 解き方の手順

(1)

まず、式を展開します。

$x^2 - 2y^2 - xy + 3yz + 3zx$

次に、$x$について整理します。

$x^2 + (3z - y)x - 2y^2 + 3yz$

定数項を因数分解します。

$x^2 + (3z - y)x - (2y^2 - 3yz) = x^2 + (3z - y)x - (2y + 3z)(y)$

たすき掛けをします。

$(x + 2y)(x - y) + 3z(x+y)$

$(x-y)(x+2y + 3z)$

したがって、因数分解の結果は $(x - y)(x + 2y + 3z)$です。

(2)

式全体を$c$について整理します。

$b^3c + ab^2c + 2abc + 2b^2c + ca + bc = (b^3 + ab^2 + 2ab + 2b^2 + a + b)c$

$= ((b^3 + ab^2) + (2b^2+2ab) + a+b)c = (b^2(b+a) + 2b(b+a) + (a+b))c = (b^2 + 2b + 1)(a+b)c = (b+1)^2(a+b)c$

従って、因数分解の結果は$(a+b)(b+1)^2c$です。

(3)

式を整理します。

$a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd = a^2bc-ab^2-ac^2 + abd + bc -cd$

$ab(ac-b+d) + c(-ac+b-d) + bc$

$=a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd = b(a^2c-ab+c) + ad(b-c) -cd$

$c(a^2b+b-d)- ab(b-ad)-ac^2$

$a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd$

$= a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd$

$abc(a + 1) - (ab^2+ac^2+bcd) + abd$

$bc(a^2+1) -ab(b-ad) -ac^2 -cd$

次に、$c$について式を整理します。

$c(a^2b - a^2 + b - d) + abd-ab^2=c(-d-a^2 + a^2b+b) -ab^2 + abd = -ab(b-d)-c[cd+ac^2-a^2bc-bc]$

$=c(ba^2-c a)-ab(b-d) -(d-b)c$

$= (a-c)(bc)+ b -cd=-ab(b-ad-c)+ c(-d)$

もう一度式を整理します。

$a^2bc - ab^2 - ac^2 + abd + bc - cd$

$= a^2bc - ab^2 + abd - ac^2 + bc - cd$

$= ab(ac - b + d) - c(ac - b + d) = (ab - c)(ac - b + d)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - y)(x + 2y + 3z)$

(2) $(a+b)c(b+1)^2$

(3) $(ab - c)(ac - b + d)$