$\sqrt{x^2 + 8x + 16}$ を $x$ の多項式で表す。ただし、(1) $x+4 \ge 0$ の場合と、(2) $x+4 < 0$ の場合についてそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$\sqrt{x^2 + 8x + 16}$ を $x$ の多項式で表す。ただし、(1) $x+4 \ge 0$ の場合と、(2) $x+4 < 0$ の場合についてそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

まず、根号の中身を因数分解する。

$x^2 + 8x + 16 = (x+4)^2$

したがって、

$\sqrt{x^2 + 8x + 16} = \sqrt{(x+4)^2} = |x+4|$

(1) $x+4 \ge 0$ のとき、絶対値記号はそのまま外せるので、

$|x+4| = x+4$

(2) $x+4 < 0$ のとき、絶対値記号を外す際にマイナスをつける必要がある。

$|x+4| = -(x+4) = -x-4$

3. 最終的な答え

(1) $x+4 \ge 0$ のとき、$x+4$

(2) $x+4 < 0$ のとき、$-x-4$