以下の極限を求める問題です。 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{n}\right)$

1. 問題の内容

以下の極限を求める問題です。

$\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{n}\right)$

2. 解き方の手順

まず、$1 + \frac{1}{k} = \frac{k+1}{k}$ であることを利用して、積を書き換えます。

$\frac{1}{n} \left(1 + \frac{1}{2}\right) \left(1 + \frac{1}{3}\right) \cdots \left(1 + \frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{n+1}{n}$

ここで、分子と分母で連続する項が打ち消しあうことに注目します。具体的には、3が打ち消しあい、4が打ち消しあい、...、nが打ち消しあいます。結果として、分子には$n+1$が残り、分母には2が残ります。

$\frac{1}{n} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{5}{4} \cdots \frac{n+1}{n} = \frac{1}{n} \cdot \frac{n+1}{2} = \frac{n+1}{2n}$

したがって、求める極限は、

$\lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{2n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{2} = \frac{1 + 0}{2} = \frac{1}{2}$

3. 最終的な答え

$\frac{1}{2}$