(1) 連立不等式 $y \geq x^2$, $y \geq 2-x$, $y \leq x+6$ の表す領域を図示する。 (2) (1)で求めた領域の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式 $y \geq x^2$, $y \geq 2-x$, $y \leq x+6$ の表す領域を図示する。

(2) (1)で求めた領域の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、3つの不等式に対応する3つの領域を図示します。

- $y \geq x^2$ は放物線 $y=x^2$ の上側の領域を表します。

- $y \geq 2-x$ は直線 $y=2-x$ の上側の領域を表します。

- $y \leq x+6$ は直線 $y=x+6$ の下側の領域を表します。

これらの3つの領域の共通部分が、連立不等式の表す領域となります。

(2) 次に、領域の面積を計算します。

まず、それぞれの交点を計算します。

- $x^2 = 2-x$ より $x^2 + x - 2 = 0$ となり、$(x+2)(x-1)=0$なので、$x=-2,1$です。このとき、$y=4,1$となるので、交点は$(-2,4)$と$(1,1)$となります。

- $x^2 = x+6$ より $x^2 - x - 6 = 0$ となり、$(x-3)(x+2)=0$なので、$x=3,-2$です。このとき、$y=9,4$となるので、交点は$(3,9)$と$(-2,4)$となります。

- $2-x = x+6$ より $2x = -4$ となり、$x=-2$です。このとき、$y=4$となるので、交点は$(-2,4)$となります。

次に、積分を使って面積を求めます。領域は、$x=-2$から$x=1$までと、$x=1$から$x=3$までに分けて考えます。

- $x=-2$から$x=1$まででは、$x+6$と$x^2$で囲まれた領域を考え、$x+6$と$2-x$で囲まれた領域を考えます。

この区間では、$x+6 \geq 2-x$なので、$x+6$と$x^2$で囲まれた領域から、$2-x$と$x^2$で囲まれた領域を引きます。

$S_1 = \int_{-2}^{1} (x+6-x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 + 6x - \frac{1}{3}x^3]_{-2}^{1} = (\frac{1}{2}+6-\frac{1}{3}) - (2-12+\frac{8}{3}) = \frac{37}{6} + \frac{22}{3} = \frac{37+44}{6} = \frac{81}{6} = \frac{27}{2}$

- $x=1$から$x=3$まででは、$x+6$と$x^2$で囲まれた領域を考えます。

$S_2 = \int_{1}^{3} (x+6-x^2) dx = [\frac{1}{2}x^2 + 6x - \frac{1}{3}x^3]_{1}^{3} = (\frac{9}{2}+18-9) - (\frac{1}{2}+6-\frac{1}{3}) = \frac{27}{2} - \frac{37}{6} = \frac{81-37}{6} = \frac{44}{6} = \frac{22}{3}$

したがって、面積は、$S = S_1 = \frac{27}{2}$となります。

3. 最終的な答え

領域の面積は $\frac{27}{2}$