(1) 連立不等式 $y \geq x^2$, $y \geq 2-x$, $y \leq x+6$ の表す領域を図示する。 (2) (1)の領域の面積 $S$ を求める。

1. 問題の内容

(1) 連立不等式 $y \geq x^2$, $y \geq 2-x$, $y \leq x+6$ の表す領域を図示する。

(2) (1)の領域の面積 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、それぞれの不等式が表す領域を図示する。

$y \geq x^2$ は放物線 $y=x^2$ の上側の領域を表す。

$y \geq 2-x$ は直線 $y = 2-x$ の上側の領域を表す。

$y \leq x+6$ は直線 $y = x+6$ の下側の領域を表す。

これらのすべての不等式を満たす領域を求める。

次に、交点を求める。

$y = x^2$ と $y = 2-x$ の交点: $x^2 = 2-x$ より $x^2+x-2 = 0$。因数分解して $(x+2)(x-1) = 0$。よって、$x=-2, 1$。交点は $(-2, 4), (1, 1)$.

$y = x^2$ と $y = x+6$ の交点: $x^2 = x+6$ より $x^2-x-6 = 0$。因数分解して $(x-3)(x+2) = 0$。よって、$x=-2, 3$。交点は $(-2, 4), (3, 9)$.

$y = 2-x$ と $y = x+6$ の交点: $2-x = x+6$ より $2x = -4$。よって、$x = -2$。交点は $(-2, 4)$.

(2) 領域の面積を求める。

まず、積分区間を定める。交点のx座標から $-2 \leq x \leq 1$と$1 \leq x \leq 3$で区切る。

$-2 \leq x \leq 1$では、$x+6 \geq 2-x \geq x^2$。

$1 \leq x \leq 3$では、$x+6 \geq x^2 \geq 2-x$。

$S = \int_{-2}^{1} (x+6-(2-x)) dx + \int_{1}^{3} (x+6-x^2) dx$

$= \int_{-2}^{1} (2x+4) dx + \int_{1}^{3} (-x^2+x+6) dx$

$= [x^2+4x]_{-2}^{1} + [-\frac{1}{3}x^3+\frac{1}{2}x^2+6x]_{1}^{3}$

$= (1+4-(4-8)) + (-9+\frac{9}{2}+18-(-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}+6))$

$= (5+4) + (9+\frac{9}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}-6)$

$= 9 + 3 + \frac{8}{2} + \frac{1}{3} = 12 + 4 + \frac{1}{3} = 16 + \frac{1}{3} = \frac{49}{3}$

3. 最終的な答え

(1) (領域の図示は省略)

(2) $S = \frac{49}{3}$