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次の極限を求めます。 $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{3}{x-3}\right)$

解析学極限関数の極限代数計算
2025/5/17

1. 問題の内容

次の極限を求めます。
lim⁡x→01x(1+3x−3)\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(1 + \frac{3}{x-3}\right)

2. 解き方の手順

まず、括弧の中を整理します。
1+3x−3=x−3x−3+3x−3=x−3+3x−3=xx−31 + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3}{x-3} + \frac{3}{x-3} = \frac{x-3+3}{x-3} = \frac{x}{x-3}
したがって、極限は
lim⁡x→01x(xx−3)\lim_{x \to 0} \frac{1}{x} \left(\frac{x}{x-3}\right)
となります。1x\frac{1}{x}とxx−3\frac{x}{x-3}のxxを約分すると
lim⁡x→01x−3\lim_{x \to 0} \frac{1}{x-3}
となります。ここで、xxを0に近づけると、
10−3=−13\frac{1}{0-3} = -\frac{1}{3}

3. 最終的な答え

−13-\frac{1}{3}

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