$\frac{1}{4} \le x \le 8$ の範囲において、関数 $y = 2(\log_2 \sqrt{x})^2 + \log_{\frac{1}{2}} x^2 + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$\frac{1}{4} \le x \le 8$ の範囲において、関数 $y = 2(\log_2 \sqrt{x})^2 + \log_{\frac{1}{2}} x^2 + 5$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を簡単にする。

$\log_2 \sqrt{x} = \log_2 x^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \log_2 x$

$\log_{\frac{1}{2}} x^2 = \frac{\log_2 x^2}{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{2 \log_2 x}{-1} = -2 \log_2 x$

よって、関数は以下のように書き換えられる。

$y = 2 (\frac{1}{2} \log_2 x)^2 - 2 \log_2 x + 5 = 2 (\frac{1}{4} (\log_2 x)^2) - 2 \log_2 x + 5 = \frac{1}{2} (\log_2 x)^2 - 2 \log_2 x + 5$

ここで、$t = \log_2 x$ とおくと、関数は $y = \frac{1}{2} t^2 - 2t + 5$ となる。

また、$x$ の範囲が $\frac{1}{4} \le x \le 8$ であるから、$t$ の範囲は $\log_2 \frac{1}{4} \le t \le \log_2 8$ となり、

$-2 \le t \le 3$ である。

$y = \frac{1}{2} (t^2 - 4t) + 5 = \frac{1}{2} (t^2 - 4t + 4 - 4) + 5 = \frac{1}{2} (t-2)^2 - 2 + 5 = \frac{1}{2} (t-2)^2 + 3$

これは下に凸な二次関数であり、頂点は $(2, 3)$ である。

$t$ の範囲は $-2 \le t \le 3$ なので、

$t = 2$ のとき最小値 $3$ を取る。

$t = -2$ のとき最大値 $\frac{1}{2} (-2-2)^2 + 3 = \frac{1}{2} \times 16 + 3 = 8 + 3 = 11$ を取る。

$t = 2$ のとき、$\log_2 x = 2$ より $x = 2^2 = 4$。

$t = -2$ のとき、$\log_2 x = -2$ より $x = 2^{-2} = \frac{1}{4}$。

3. 最終的な答え

最大値: 11

最小値: 3