全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{A}$ (2) $\overline{B}$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $A \cup \overline{B}$ (5) $\overline{A} \cup B$ (6) $A \cap \overline{B}$

以下に、問題の解答を示します。

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$、部分集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}$、 $B = \{2, 4, 6\}$ が与えられたとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{A}$

(2) $\overline{B}$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $A \cup \overline{B}$

(5) $\overline{A} \cup B$

(6) $A \cap \overline{B}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ （Aの補集合）は、$U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合です。

(2) $\overline{B}$ （Bの補集合）は、$U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合です。

(3) $\overline{A} \cap B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合です。

(4) $A \cup \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

(5) $\overline{A} \cup B$ は、$\overline{A}$ と $B$ の少なくとも一方に含まれる要素の集合です。

(6) $A \cap \overline{B}$ は、$A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合です。

まず、$\overline{A}$ と $\overline{B}$ を求めます。

$\overline{A} = U - A = \{5, 6, 7\}$

$\overline{B} = U - B = \{1, 3, 5, 7\}$

次に、それぞれの集合を計算します。

(1) $\overline{A} = \{5, 6, 7\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{5, 6, 7\} \cap \{2, 4, 6\} = \{6\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4\} \cup \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{5, 6, 7\} \cup \{2, 4, 6\} = \{2, 4, 5, 6, 7\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 2, 3, 4\} \cap \{1, 3, 5, 7\} = \{1, 3\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{A} = \{5, 6, 7\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 3, 5, 7\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{6\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 7\}$

(5) $\overline{A} \cup B = \{2, 4, 5, 6, 7\}$

(6) $A \cap \overline{B} = \{1, 3\}$