媒介変数 $t$ で表される曲線 $ \begin{cases} x = \sin t \\ y = \sin 2t \end{cases} $ ($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$) について、以下の問いに答えます。 (1) この曲線の概形を描きます。 (2) 曲線と $x$ 軸で囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

1. 問題の内容

媒介変数 $t$ で表される曲線

$$

\begin{cases}

x = \sin t \\

y = \sin 2t

\end{cases}

$$

($0 \le t \le \frac{\pi}{2}$)

について、以下の問いに答えます。

(1) この曲線の概形を描きます。

(2) 曲線と $x$ 軸で囲まれた図形 $D$ を $x$ 軸の周りに回転させてできる回転体の体積 $V$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 曲線の概形を描く。

$y = \sin 2t = 2 \sin t \cos t$ なので、 $y = 2x \cos t$ となります。

また、$x = \sin t$ より $\cos t = \sqrt{1 - \sin^2 t} = \sqrt{1 - x^2}$ なので、$y = 2x \sqrt{1 - x^2}$ と表せます。

$t$ が $0$ から $\frac{\pi}{2}$ まで変化するとき、$x$ は $0$ から $1$ まで変化します。

$y(0) = 0$、$y(1) = 0$ です。$y'(x) = 2 \sqrt{1-x^2} + 2x \frac{-2x}{2 \sqrt{1-x^2}} = 2 \sqrt{1-x^2} - \frac{2x^2}{\sqrt{1-x^2}} = \frac{2 - 4x^2}{\sqrt{1 - x^2}}$。

$y'(x) = 0$ となるのは $x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のときです。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ のとき、$y = 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = 1$ となります。

よって、$(x, y)$ は $(0, 0)$ から $(\frac{1}{\sqrt{2}}, 1)$ まで増加し、その後 $(1, 0)$ まで減少する曲線を描きます。

(2) 回転体の体積 $V$ を求める。

$V = \pi \int_0^1 y^2 dx = \pi \int_0^1 (2x \sqrt{1 - x^2})^2 dx = 4 \pi \int_0^1 x^2 (1 - x^2) dx = 4 \pi \int_0^1 (x^2 - x^4) dx = 4 \pi [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{5}]_0^1 = 4 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{5}) = 4 \pi (\frac{5 - 3}{15}) = \frac{8 \pi}{15}$

3. 最終的な答え

(1) 曲線の概形は上記参照。

(2) $V = \frac{8 \pi}{15}$