与えられた関数の不定積分を計算します。 (1) $x(3x^2 + 2)^6$ (2) $\cos^{-1}x$

1. 問題の内容

与えられた関数の不定積分を計算します。

(1) $x(3x^2 + 2)^6$

(2) $\cos^{-1}x$

2. 解き方の手順

(1)

置換積分を用います。$u = 3x^2 + 2$ とおくと、$du = 6x dx$ となります。したがって、$x dx = \frac{1}{6} du$ です。

$\int x(3x^2 + 2)^6 dx = \int u^6 \frac{1}{6} du = \frac{1}{6} \int u^6 du = \frac{1}{6} \cdot \frac{u^7}{7} + C = \frac{1}{42} u^7 + C = \frac{1}{42} (3x^2 + 2)^7 + C$

(2)

部分積分を用います。$\int \cos^{-1}x dx$ を計算します。

$u = \cos^{-1}x$, $dv = dx$ とおくと、$du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$, $v = x$ となります。

$\int \cos^{-1}x dx = x \cos^{-1}x - \int x (-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}) dx = x \cos^{-1}x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx$

ここで、$t = 1-x^2$ とおくと、$dt = -2x dx$ より $x dx = -\frac{1}{2} dt$ なので、

$\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} dx = \int \frac{-\frac{1}{2}}{\sqrt{t}} dt = -\frac{1}{2} \int t^{-1/2} dt = -\frac{1}{2} \cdot \frac{t^{1/2}}{1/2} + C = -\sqrt{t} + C = -\sqrt{1-x^2} + C$

したがって、

$\int \cos^{-1}x dx = x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$

3. 最終的な答え

(1) $\int x(3x^2 + 2)^6 dx = \frac{1}{42} (3x^2 + 2)^7 + C$

(2) $\int \cos^{-1}x dx = x \cos^{-1}x - \sqrt{1-x^2} + C$