次の極限を求める問題です。 $\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{x + \frac{\pi}{4}}$

1. 問題の内容

次の極限を求める問題です。

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{x + \frac{\pi}{4}}$

2. 解き方の手順

この極限は、$\frac{0}{0}$ の不定形であるため、ロピタルの定理を適用できます。

ロピタルの定理とは、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立つというものです。

$f(x) = \sin x + \cos x$ と $g(x) = x + \frac{\pi}{4}$ とおくと、

$f'(x) = \cos x - \sin x$

$g'(x) = 1$

したがって、

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\sin x + \cos x}{x + \frac{\pi}{4}} = \lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1}$

となります。

$x = -\frac{\pi}{4}$ を代入すると、

$\cos(-\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

したがって、

$\lim_{x \to -\frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} - (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{2}$