与えられた2つの複素数 $-1+3i$ と $-1-3i$ を根とする二次方程式を求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの複素数 $-1+3i$ と $-1-3i$ を根とする二次方程式を求めます。

2. 解き方の手順

複素数 $\alpha$と$\beta$を根とする二次方程式は、

$(x-\alpha)(x-\beta) = 0$

と表すことができます。

今回の問題では、$\alpha = -1 + 3i$、$\beta = -1 - 3i$ なので、

$(x - (-1 + 3i))(x - (-1 - 3i)) = 0$

$(x + 1 - 3i)(x + 1 + 3i) = 0$

ここで、和と差の積の公式 $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ を利用します。$a = x+1$, $b = 3i$ と考えると、

$(x+1)^2 - (3i)^2 = 0$

$x^2 + 2x + 1 - 9i^2 = 0$

$i^2 = -1$ なので、

$x^2 + 2x + 1 - 9(-1) = 0$

$x^2 + 2x + 1 + 9 = 0$

$x^2 + 2x + 10 = 0$

3. 最終的な答え

$x^2 + 2x + 10 = 0$