ある大学の入学試験において、入学定員が400名、受験者数が2600名である。試験は500点満点で、受験者の平均点は285点、標準偏差は72点であった。得点の分布が正規分布で近似されるとき、合格最低点を求める。

1. 問題の内容

ある大学の入学試験において、入学定員が400名、受験者数が2600名である。試験は500点満点で、受験者の平均点は285点、標準偏差は72点であった。得点の分布が正規分布で近似されるとき、合格最低点を求める。

2. 解き方の手順

合格率を計算し、正規分布表を用いて対応するz値を求める。そして、z値を基に合格最低点を計算する。

ステップ1：合格率の計算

合格率は、$\frac{400}{2600} = \frac{2}{13} \approx 0.1538$ である。

ステップ2：z値の計算

合格率が0.1538に対応するz値を求める。

標準正規分布表において、上位15.38%にあたるz値を求める。

1 - 0.1538 = 0.8462

標準正規分布表から、0.8462に近い値を探すと、z値はおよそ1.02となる。

ステップ3：合格最低点の計算

合格最低点を$x$とすると、$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$の関係がある。ここで、$\mu = 285$、$\sigma = 72$。したがって、$1.02 = \frac{x - 285}{72}$。

これを解くと、$x = 1.02 \times 72 + 285 = 73.44 + 285 = 358.44$となる。

3. 最終的な答え

合格最低点はおよそ358点である。