水面上に2つの波源 $S_1$ と $S_2$ が30 cm離れて置かれており、振動数5.0 Hzで同位相で振動し、波長10 cmの同心円状の波を発生しています。$M$は線分 $S_1S_2$ の中点です。以下の問題を解きます。 (1) 波源 $S_1$ から出た波が点Aに到達するのに要する時間 $t$ は何秒か。 (2) 2つの波は点Aで強め合うか、それとも弱め合うか。また、点Bではどうか。 (3) 波源 $S_1$, $S_2$ において波の山が発生している瞬間に、点Cで観測される波は山か、それとも谷か。 (4) 点Cで観測された波は0.30秒後に水面上のある点に移動する。波源 $S_1$, $S_2$ からその点までの距離はそれぞれいくらか。 (5) 線分 $S_1S_2$ 間にできる節の数はいくらか。 (6) 線分 $S_2B$ 間に振動しない点が何箇所できるか。水面波の減衰は考えない。

はい、この問題を解きましょう。

1. 問題の内容

水面上に2つの波源 $S_1$ と $S_2$ が30 cm離れて置かれており、振動数5.0 Hzで同位相で振動し、波長10 cmの同心円状の波を発生しています。$M$は線分 $S_1S_2$ の中点です。以下の問題を解きます。

(1) 波源 $S_1$ から出た波が点Aに到達するのに要する時間 $t$ は何秒か。

(2) 2つの波は点Aで強め合うか、それとも弱め合うか。また、点Bではどうか。

(3) 波源 $S_1$, $S_2$ において波の山が発生している瞬間に、点Cで観測される波は山か、それとも谷か。

(4) 点Cで観測された波は0.30秒後に水面上のある点に移動する。波源 $S_1$, $S_2$ からその点までの距離はそれぞれいくらか。

(5) 線分 $S_1S_2$ 間にできる節の数はいくらか。

(6) 線分 $S_2B$ 間に振動しない点が何箇所できるか。水面波の減衰は考えない。

2. 解き方の手順

(1)

波の速さ $v$ を求めます。$v = f\lambda$ より、

$v = 5.0 \text{ Hz} \times 10 \text{ cm} = 50 \text{ cm/s}$

$S_1$ から A までの距離は25 cmなので、時間 $t$ は

$t = \frac{25 \text{ cm}}{50 \text{ cm/s}} = 0.5 \text{ s}$

(2)

点Aまでの経路差を求めます。

$S_1A = 25 \text{ cm}$

$S_2A = 20 \text{ cm}$

経路差 $= |S_1A - S_2A| = |25 - 20| = 5 \text{ cm}$

これは波長 $\lambda = 10 \text{ cm}$ の $0.5$ 倍なので、点Aでは弱め合います。

点Bまでの経路差を求めます。

$S_1B = S_1S_2 + S_2B = 30 \text{ cm} + 40 \text{ cm} = 70 \text{ cm}$

$S_2B = 40 \text{ cm}$

経路差 $= |S_1B - S_2B| = |70 - 40| = 30 \text{ cm}$

これは波長 $\lambda = 10 \text{ cm}$ の $3$ 倍なので、点Bでは強め合います。

(3)

点Cは $S_2$ から15 cmの距離にあります。また、$M$ は $S_1S_2$ の中点なので、$S_1$ と $S_2$ は同位相で振動しています。よって、$S_1$ からCまでの距離は、$S_1S_2$ - $S_2C$ = 30 - 15 = 15 cmとなります。 $S_1$と$S_2$からCまでの距離は等しいので、Cでは常に強めあいます。従って、波源で山の瞬間にはCでも山が観測されます。

(4)

波は0.30秒後に $v \times t = 50 \text{ cm/s} \times 0.30 \text{ s} = 15 \text{ cm}$ 移動します。

$S_1$からCまでの距離は15 cm、$S_2$からCまでの距離は15 cmでした。

0.3秒後、その点C'は、$S_1C'=15 + 15 = 30 \text{ cm}$, $S_2C' = 15 + 15 = 30 \text{ cm}$.

(5)

$S_1S_2$ 間では、経路差が $\lambda/2$ の奇数倍となる点で節ができます。

$|S_1X - S_2X| = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$

$S_1X + S_2X = 30$

$S_1X = x$ とすると、 $S_2X = 30 - x$

$|x - (30 - x)| = (2n-1)\frac{10}{2} = (2n-1)5$

$|2x - 30| = (2n-1)5$

$0 \leq x \leq 30$

$2x-30 = (2n-1)5$ or $2x-30 = -(2n-1)5$

$x = 15 + \frac{5}{2}(2n-1)$ or $x = 15 - \frac{5}{2}(2n-1)$

$0 \le 15 \pm \frac{5}{2}(2n-1) \le 30$

$-15 \le \pm \frac{5}{2}(2n-1) \le 15$

$-3 \le \pm \frac{1}{2}(2n-1) \le 3$

$-6 \le \pm (2n-1) \le 6$

$-6 \le 2n-1 \le 6$ or $-6 \le -(2n-1) \le 6$

$-5 \le 2n \le 7$ or $-6 \le 1-2n \le 6$

$-5 \le 2n \le 7$ or $-5 \le -2n \le 5$

$-2.5 \le n \le 3.5$ or $-2.5 \le n \le 2.5$

$n = -2, -1, 0, 1, 2, 3$ と $n=-2, -1, 0, 1, 2$.

$n$ は正の整数なので，$n=1, 2, 3$.

$2n - 1$は1, 3, 5なので、$S_1$ と $S_2$ 間には6個の節ができます。

(6)

$S_2B$ 間では、経路差が $\lambda/2$ の奇数倍となる点で振動しない点（節）ができます。

$S_1Y - S_2Y = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$

$S_1Y = 30 + S_2Y$, $S_2Y = y$

$30 + y - y = (2n-1)\frac{10}{2}$

$30 = (2n-1)5$

$6 = 2n-1$

$2n = 7$

$n = 3.5$

$S_1Y - S_2Y = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$

$S_2Y - S_1Y = (2n-1)\frac{\lambda}{2}$

$y-(30+y) = (2n-1)5$

$-30 = (2n-1)5$

$-6 = 2n-1$

$2n = -5$

これらの条件を満たす整数$n$はないので、経路差による振動しない点は存在しない。

$S_2B=40 \text{ cm}$で、$S_2$が節となる場所を調べる。

$S_2$ から $x$ の地点

$2\pi x / \lambda = n\pi$

$2x/\lambda = n$

$2x/10 = n$

$x = 5n$

節になる地点: $x = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40$

$0 < x < 40$

8箇所

3. 最終的な答え

(1) 0.5 秒

(2) 点A: 弱め合う、点B: 強め合う

(3) 山

(4) $S_1$から30 cm, $S_2$から30 cm

(5) 6個

(6) 8箇所