任意の整数 $n$ に対して、$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ が18の倍数であることを示す問題です。

1. 問題の内容

任意の整数 $n$ に対して、$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ が18の倍数であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式を因数分解します。

$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3 = n^3(n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4)$

次に、$n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4$ の部分をさらに因数分解できるか考えます。

$n=1$ のとき、$1 - 6 - 5 + 6 + 4 = 0$ なので、$n-1$ を因数に持ちます。

同様に、$n=-1$ のとき、$1 + 6 - 5 - 6 + 4 = 0$ なので、$n+1$ を因数に持ちます。

また、$n=2$ のとき、$16 - 48 - 20 + 12 + 4 = -36 \ne 0$

$n=-2$ のとき、$16 + 48 - 20 - 12 + 4 = 36 \ne 0$

$n=7$ のとき、$7^4 - 6\times7^3 - 5\times7^2 + 6\times7 + 4 = 2401 - 2058 - 245 + 42 + 4 = 164 \ne 0$

$n=8$ のとき、$8^4 - 6\times8^3 - 5\times8^2 + 6\times8 + 4 = 4096 - 3072 - 320 + 48 + 4 = 756 \ne 0$

多項式を $n^2 - 1$ で割ると、

$n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4 = (n^2 - 1)(n^2 - 6n - 4)$

したがって、

$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3 = n^3(n^2 - 1)(n^2 - 6n - 4) = n^3(n - 1)(n + 1)(n^2 - 6n - 4)$

ここで、$n-1$, $n$, $n+1$ は連続する3つの整数なので、少なくとも一つは2の倍数であり、一つは3の倍数です。

したがって、$n^3(n-1)(n+1)$ は $2 \times 3 = 6$ の倍数です。

つまり、$n^3(n - 1)(n + 1)(n^2 - 6n - 4)$ は $6(n^2 - 6n - 4)$ の倍数です。

次に、$n^2 - 6n - 4$ が3の倍数となる条件を調べます。

$n^2 - 6n - 4 = n^2 - 4 \pmod 3$

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき、$n^2 - 4 \equiv -4 \equiv -1 \equiv 2 \pmod 3$

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき、$n^2 - 4 \equiv 1 - 4 \equiv -3 \equiv 0 \pmod 3$

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき、$n^2 - 4 \equiv 4 - 4 \equiv 0 \pmod 3$

したがって、$n \equiv 1 \pmod 3$ または $n \equiv 2 \pmod 3$ のとき、$n^2 - 6n - 4$ は 3 の倍数です。

$n \equiv 0 \pmod 3$ のとき、$n^3(n-1)(n+1)$ は $n$ が 3 の倍数なので、$n^3$ も 3 の倍数なので、$n^3(n-1)(n+1)$ は3の倍数。さらに $n-1$ と $n+1$ のどちらかは偶数になるので、$n^3(n-1)(n+1)$ は2の倍数。よって、6の倍数。

$n \equiv 1 \pmod 3$ のとき、$n-1$ は 3 の倍数なので、$n^3(n-1)(n+1)$ は3の倍数。さらに $n-1$ は偶数となるため、$n^3(n-1)(n+1)$ は6の倍数。 $n^2 - 6n - 4$ が 3 の倍数なので、$n^3(n-1)(n+1)(n^2 - 6n - 4)$ は 18 の倍数。

$n \equiv 2 \pmod 3$ のとき、$n+1$ は 3 の倍数なので、$n^3(n-1)(n+1)$ は3の倍数。さらに $n+1$ は奇数だが、 $n$ は偶数となるため、$n^3$ は偶数となり、$n^3(n-1)(n+1)$ は6の倍数。$n^2 - 6n - 4$ が 3 の倍数なので、$n^3(n-1)(n+1)(n^2 - 6n - 4)$ は 18 の倍数。

いずれの場合も、$n^3(n-1)(n+1)(n^2 - 6n - 4)$ は18の倍数となります。

3. 最終的な答え

$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ は18の倍数である。