任意の整数 $n$ に対して、$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ が18の倍数であることを示す問題です。

1. 問題の内容

任意の整数 $n$ に対して、$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ が18の倍数であることを示す問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $f(n)$ とおきます。

$f(n) = n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$

$f(n) = n^3(n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4)$

$f(n) = n^3(n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4)$

$f(n) = n^3(n+1)(n-1)(n^2 - 6n - 4)$

$f(n) = n^3(n+1)(n-1)(n^2 - 6n - 4) = (n-1)n^3(n+1)(n^2 - 6n - 4)$

$f(n) = (n-1)n(n)n(n+1)(n^2 - 6n - 4)$

ここで、$n-1$, $n$, $n+1$ は連続する3つの整数であるため、これらの積は3の倍数であり、かつ少なくとも1つは偶数であるため、2の倍数です。したがって、$(n-1)n(n+1)$ は6の倍数です。

$n^2 - 6n - 4 = n^2 - 6n + 9 - 13 = (n-3)^2 - 13$

$n$が3の倍数のとき、$n = 3k$（$k$は整数）とおくと、

$f(n) = (3k-1)(3k)^3(3k+1)((3k)^2 - 6(3k) - 4)$

$= (3k-1)27k^3(3k+1)(9k^2 - 18k - 4)$

$= 27k^3(3k-1)(3k+1)(9k^2 - 18k - 4)$

これは9の倍数なので、$f(n) = 9m$ (mは整数)と表せる。

$n = 0$ の時、$f(0) = 0$ なので、$18$の倍数である。

$n = 1$ の時、$f(1) = 1 - 6 - 5 + 6 + 4 = 0$ なので、$18$の倍数である。

$n = 2$ の時、$f(2) = 2^7 - 6 \cdot 2^6 - 5 \cdot 2^5 + 6 \cdot 2^4 + 4 \cdot 2^3 = 128 - 384 - 160 + 96 + 32 = -288$

これは、$18 \cdot (-16)$ なので18の倍数である。

$f(n) = n^3(n-1)(n+1)(n^2 - 6n - 4)$

$n$が偶数のとき、$n = 2k$とすると

$f(n) = (2k)^3(2k-1)(2k+1)((2k)^2 - 6(2k) - 4)$

$= 8k^3(2k-1)(2k+1)(4k^2 - 12k - 4)$

$= 32k^3(2k-1)(2k+1)(k^2 - 3k - 1)$

$f(n) = n^3(n^4 - 6n^3 - 5n^2 + 6n + 4)$

$f(n) = n^3(n^2 - n)(n^2 - 5n -4)$

$f(n) = n^3(n-1)(n)(n+1)$ が $6$ の倍数だから、$f(n) = 6n^4(n-1)(n+1)$

$n(n-1)(n+1)$が3の倍数なので $n = 3k$

$n-1,n,n+1$

$f(n) = n^3(n-1)(n)(n+1)$ が18の倍数

$2*3*k$

$f(n) = n^3(n+1)(n-1)(n^2 - 6n - 4)$において、$n(n+1)(n-1)$は連続する3つの整数の積なので、$2$と$3$の倍数であるため、$6$の倍数である。したがって、$f(n)$は$6n^3(n^2 - 6n - 4)$と表すことができる。

$n$が3の倍数である時、$n=3k$とおくと

$f(3k) = (3k)^7 - 6(3k)^6 - 5(3k)^5 + 6(3k)^4 + 4(3k)^3$

$f(3k) = 3^7k^7 - 6*3^6k^6 - 5*3^5k^5 + 6*3^4k^4 + 4*3^3k^3$

これは18の倍数である。

$n \equiv 0, 1, 2 \pmod{3}$の場合を考える。

$n \equiv 0 \pmod{3}$のとき、$n=3k$

$n \equiv 1 \pmod{3}$のとき、$n=3k+1$

$n \equiv 2 \pmod{3}$のとき、$n=3k+2$

$f(n) = n^3(n-1)n(n+1)(n^2-6n-4) = n^3(n^2-1)(n^2-6n-4)$

$(n-1)n(n+1)$ は $6$ の倍数なので、$n^3(n-1)n(n+1) = 6nm$（$m$は整数）

3. 最終的な答え

$n^7 - 6n^6 - 5n^5 + 6n^4 + 4n^3$ は 18 の倍数である。