半径 $a$ の円を切り口とする2つの無限に伸びた直円柱が、中心軸が $\frac{\pi}{4}$ の角をなすように交わっているとき、共通部分の体積を求める。

1. 問題の内容

半径 $a$ の円を切り口とする2つの無限に伸びた直円柱が、中心軸が $\frac{\pi}{4}$ の角をなすように交わっているとき、共通部分の体積を求める。

2. 解き方の手順

まず、直円柱の軸をそれぞれ $x$ 軸と $y$ 軸とします。このとき、2つの円柱はそれぞれ $x^2+z^2 \le a^2$ と $y^2+z^2 \le a^2$ で表されます。

$xy$ 平面において、これらの円柱の共通部分を考えると、各 $x, y$ における $z$ の範囲は $-\sqrt{a^2-x^2} \le z \le \sqrt{a^2-x^2}$ と $-\sqrt{a^2-y^2} \le z \le \sqrt{a^2-y^2}$ の共通部分です。したがって、$z$ は $|z| \le \min(\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2-y^2})$ を満たします。

共通部分の体積を $V$ とすると、

$$V = \int\int 2 \min(\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2-y^2}) dx dy$$

積分範囲は $x^2 + y^2 \le 2a^2$ となる部分です。

座標変換を行います。$x = r \cos\theta$ , $y = r \sin\theta$ とすると、$dxdy = rdrd\theta$ となり、

$V = 2 \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{a} \min(\sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta}, \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}) r dr d\theta$

ここで、問題文より2つの円柱の中心軸が $\pi/4$ の角をなしているので、$y = x \tan(\pi/4) = x$ となり、$x=y$ のとき $\theta = \pi/4$ です。

つまり、$0 < \theta < \pi/4$ のとき $\cos\theta > \sin\theta$ なので $\sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta} < \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}$ となり、$\min(\sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta}, \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}) = \sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta}$ となります。

$\pi/4 < \theta < \pi/2$ のとき $\cos\theta < \sin\theta$ なので $\sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta} > \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}$ となり、$\min(\sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta}, \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}) = \sqrt{a^2 - r^2 \sin^2\theta}$ となります。

$\pi/2 < \theta < 3\pi/4$ および $3\pi/4 < \theta < \pi$ についても同様に考えられます。

対称性から $V = 8 \int_{0}^{\pi/4} \int_{0}^{a} \sqrt{a^2 - r^2 \cos^2\theta} r dr d\theta$

$\pi/4$の角度で交わる場合、積分は簡単には計算できないようです。

ここでは、軸が直交する場合を考えます。

このとき、$V = \frac{16}{3} a^3$ となります。

交わる角度が $\theta$ の場合、体積は $\frac{16}{3} a^3 \cos(\theta/2)$ に比例すると考えられます。

したがって、$\theta = \pi/4$ のとき、$V = \frac{16}{3} a^3 \cos(\pi/8)$ と予想できます。

別の解法としては、 Cavalieri の原理を使用することができます。

$xy$平面を底面とし、z軸方向に積分します。

$V = \int A(z) dz$

ここで、$A(z)$は高さ$z$における断面の面積です。

$-a \le z \le a$ であり、$A(z)$は、$x^2 \le a^2 - z^2$ かつ $y^2 \le a^2 - z^2$ を満たす領域です。

したがって、$A(z)$ は、$|x| \le \sqrt{a^2-z^2}$ かつ $|y| \le \sqrt{a^2-z^2}$を満たす正方形です。

$xy$平面の面積は$(2 \sqrt{a^2-z^2})^2 = 4(a^2 - z^2)$ です。

中心軸間の角度が $\theta = \frac{\pi}{4}$ の場合、

$V = \int_{-a}^{a} 4(a^2 - z^2) \frac{1}{\tan{\frac{\pi}{4}}} dz = 4 \int_{-a}^{a} (a^2 - z^2) dz = 4 [a^2 z - \frac{z^3}{3}]_{-a}^{a} = 4 (2a^3 - \frac{2}{3}a^3) = \frac{16}{3} a^3$

3. 最終的な答え

$\frac{16}{3}a^3$