三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, CA=9である。このとき、$cos A$, $sin A$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径を求める。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、AB=7, BC=5, CA=9である。このとき、$cos A$, $sin A$, 三角形ABCの面積、外接円の半径、内接円の半径を求める。

2. 解き方の手順

まず、$cos A$ を余弦定理を用いて求める。

$cos A = \frac{AB^2 + CA^2 - BC^2}{2 \cdot AB \cdot CA} = \frac{7^2 + 9^2 - 5^2}{2 \cdot 7 \cdot 9} = \frac{49 + 81 - 25}{126} = \frac{105}{126} = \frac{5}{6}$

次に、$sin A$ を求める。

$sin^2 A + cos^2 A = 1$ より、

$sin^2 A = 1 - cos^2 A = 1 - (\frac{5}{6})^2 = 1 - \frac{25}{36} = \frac{11}{36}$

$sin A = \sqrt{\frac{11}{36}} = \frac{\sqrt{11}}{6}$

(ただし、$0 < A < \pi$ より、$sin A > 0$である。)

次に、三角形ABCの面積を求める。

$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CA \cdot sin A = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{11}}{6} = \frac{21\sqrt{11}}{4}$

次に、外接円の半径Rを求める。

$\frac{BC}{sin A} = 2R$ より、

$2R = \frac{5}{\frac{\sqrt{11}}{6}} = \frac{30}{\sqrt{11}}$

$R = \frac{15}{\sqrt{11}} = \frac{15\sqrt{11}}{11}$

最後に、内接円の半径rを求める。

三角形ABCの面積Sは、

$S = \frac{1}{2}r(AB + BC + CA)$ でもあるので、

$\frac{21\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2}r(7 + 5 + 9)$

$\frac{21\sqrt{11}}{4} = \frac{1}{2}r(21)$

$\frac{21\sqrt{11}}{4} = \frac{21}{2}r$

$r = \frac{21\sqrt{11}}{4} \cdot \frac{2}{21} = \frac{\sqrt{11}}{2}$

3. 最終的な答え

cos A = 5/6

sin A = $\sqrt{11}/6$

三角形ABCの面積 = $21\sqrt{11}/4$

外接円の半径 = $15\sqrt{11}/11$

内接円の半径 = $\sqrt{11}/2$