三角形ABCにおいて、各辺の長さが$AB = x+1$, $BC = 3x-3$, $CA = 6$であるとき、$x$のとりうる値の範囲を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、各辺の長さが$AB = x+1$, $BC = 3x-3$, $CA = 6$であるとき、$x$のとりうる値の範囲を求めよ。

2. 解き方の手順

三角形の成立条件を用いる。三角形の成立条件とは、任意の2辺の和が残りの1辺よりも大きいということである。つまり、

$AB + BC > CA$

$BC + CA > AB$

$CA + AB > BC$

これらの不等式をそれぞれ解く。

まず、$AB + BC > CA$より、

$x + 1 + 3x - 3 > 6$

$4x - 2 > 6$

$4x > 8$

$x > 2$

次に、$BC + CA > AB$より、

$3x - 3 + 6 > x + 1$

$3x + 3 > x + 1$

$2x > -2$

$x > -1$

最後に、$CA + AB > BC$より、

$6 + x + 1 > 3x - 3$

$x + 7 > 3x - 3$

$10 > 2x$

$5 > x$

$x < 5$

また、三角形の辺の長さは正である必要があるため、

$x + 1 > 0$

$3x - 3 > 0$

これらの条件も考慮する。

$x > -1$

$3x > 3$

$x > 1$

したがって、$x > 2$, $x > -1$, $x < 5$, $x > -1$, $x > 1$をすべて満たす範囲を考えると、$2 < x < 5$となる。

3. 最終的な答え

$2 < x < 5$