放物線 $y = x^2$ 上の点 $A_1(1, 1)$ を通り、傾き $-1$ の直線を引きます。この直線と $y$ 軸、および放物線との交点をそれぞれ $B_1, A_2$ とします。次に $A_2$ を通り、傾き $1$ の直線を引きます。この直線と $y$ 軸、および放物線との交点をそれぞれ $B_2, A_3$ とします。この操作を繰り返して $A_4, A_5, ..., B_3, B_4, ...$ を作ります。このとき、$B_5$ の座標を求める問題です。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2$ 上の点 $A_1(1, 1)$ を通り、傾き $-1$ の直線を引きます。この直線と $y$ 軸、および放物線との交点をそれぞれ $B_1, A_2$ とします。次に $A_2$ を通り、傾き $1$ の直線を引きます。この直線と $y$ 軸、および放物線との交点をそれぞれ $B_2, A_3$ とします。この操作を繰り返して $A_4, A_5, ..., B_3, B_4, ...$ を作ります。このとき、$B_5$ の座標を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$A_n$ の $x$ 座標を $x_n$ とします。

$A_1$ の座標は $(1, 1)$ なので、$x_1 = 1$ です。

$A_n$ を通り傾き $(-1)^n$ の直線の方程式は、

$y - x_n^2 = (-1)^n (x - x_n)$

となります。

この直線と $y$ 軸との交点が $B_n$ なので、$x = 0$ を代入すると、

$y - x_n^2 = (-1)^n (0 - x_n)$

$y = x_n^2 - (-1)^n x_n$

したがって、$B_n$ の座標は $(0, x_n^2 - (-1)^n x_n)$ です。

次に、$A_n$ を通り傾き $(-1)^n$ の直線と放物線 $y = x^2$ との交点が $A_{n+1}$ なので、

$x^2 - x_n^2 = (-1)^n (x - x_n)$

$(x - x_n)(x + x_n) = (-1)^n (x - x_n)$

$x \neq x_n$ より、$x + x_n = (-1)^n$

$x = (-1)^n - x_n$

したがって、$x_{n+1} = (-1)^n - x_n$ が成り立ちます。

$x_1 = 1$ より、

$x_2 = -1 - x_1 = -1 - 1 = -2$

$x_3 = 1 - x_2 = 1 - (-2) = 3$

$x_4 = -1 - x_3 = -1 - 3 = -4$

$x_5 = 1 - x_4 = 1 - (-4) = 5$

$x_6 = -1 - x_5 = -1 - 5 = -6$

$B_5$ の $y$ 座標は $x_5^2 - (-1)^5 x_5 = 5^2 - (-1) \cdot 5 = 25 + 5 = 30$ なので、$B_5$ の座標は $(0, 30)$ です。

3. 最終的な答え

B5 の座標は (0, 30) です。