三角形ABCにおいて、辺AB上にAP:PB = 1:2となる点Pを、辺AC上にAQ:QC = 2:1となる点Qをとる。線分BQと線分CPの交点をO、直線PQと直線BCの交点をR、直線AOと辺BCの交点をSとする。以下の比を求める。 (1) BC:CR (2) BS:SC (3) AO:OS (4) 三角形ABC:三角形OBS

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺AB上にAP:PB = 1:2となる点Pを、辺AC上にAQ:QC = 2:1となる点Qをとる。線分BQと線分CPの交点をO、直線PQと直線BCの交点をR、直線AOと辺BCの交点をSとする。以下の比を求める。

(1) BC:CR

(2) BS:SC

(3) AO:OS

(4) 三角形ABC:三角形OBS

2. 解き方の手順

(1) BC:CR を求める。

三角形ABCにおいて、直線PQRが引かれているので、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BR}{RC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BR}{RC} = 4$

$BR = 4RC$

$BC + CR = 4CR$

$BC = 3CR$

$\frac{BC}{CR} = 3$

よって、BC:CR = 3:1

(2) BS:SC を求める。

三角形ABCにおいて、３直線AS, BQ, CPが点Oで交わるので、チェバの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{1}{2} = 1$

$\frac{BS}{SC} = 4$

よって、BS:SC = 4:1

(3) AO:OS を求める。

三角形BCSにおいて、直線AOSが引かれているので、メネラウスの定理より、

$\frac{CR}{RB} \cdot \frac{BP}{PA} \cdot \frac{AO}{OS} = 1$

$\frac{1}{4} \cdot 2 \cdot \frac{AO}{OS} = 1$

$\frac{AO}{OS} = 2$

よって、AO:OS = 2:1

(4) 三角形ABC:三角形OBS を求める。

$\frac{S_{OBS}}{S_{ABC}} = \frac{BS}{BC} \cdot \frac{BO}{BQ}$

$\frac{BS}{BC} = \frac{4}{5}$

三角形ABQにおいて、直線POCが引かれているので、メネラウスの定理より、

$\frac{AP}{PB} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{QC}{CA} = 1$

$\frac{1}{2} \cdot \frac{BO}{OQ} \cdot \frac{1}{3} = 1$

$\frac{BO}{OQ} = 6$

$\frac{BO}{BQ} = \frac{BO}{BO+OQ} = \frac{6}{7}$

$\frac{S_{OBS}}{S_{ABC}} = \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{7} = \frac{24}{35}$

よって、三角形ABC:三角形OBS = 35:24

3. 最終的な答え

(1) BC:CR = 3:1

(2) BS:SC = 4:1

(3) AO:OS = 2:1

(4) 三角形ABC:三角形OBS = 35:24