円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、$\cos A$ の値を求めよ。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、AB=3, BC=6, CD=5, DA=2であるとき、$\cos A$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

円に内接する四角形の性質として、対角の和が180°であること、つまり $A + C = 180^\circ$ が成り立つことを利用します。

対角線BDで四角形を二つの三角形に分割します。三角形ABDと三角形BCDにおいて、余弦定理を適用し、BDの長さを二通りで表し、それらを等しいとおくことで、$\cos A$ の値を求めます。

三角形ABDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos A$

$BD^2 = 3^2 + 2^2 - 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot \cos A$

$BD^2 = 9 + 4 - 12 \cos A$

$BD^2 = 13 - 12 \cos A$

三角形BCDにおいて、余弦定理より

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos C$

$BD^2 = 6^2 + 5^2 - 2 \cdot 6 \cdot 5 \cdot \cos C$

$BD^2 = 36 + 25 - 60 \cos C$

$BD^2 = 61 - 60 \cos C$

円に内接する四角形の性質より、$C = 180^\circ - A$なので、$\cos C = \cos (180^\circ - A) = -\cos A$

したがって、$BD^2 = 61 - 60(-\cos A) = 61 + 60 \cos A$

二つの$BD^2$の式を等しいとおくと、

$13 - 12 \cos A = 61 + 60 \cos A$

$-72 \cos A = 48$

$\cos A = -\frac{48}{72} = -\frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

$\cos A = -\frac{2}{3}$