直角三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=12$, $CA=13$ とする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。 (1) 線分ADの長さを求めよ。 (2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。 (3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。 (4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI: IDを求めよ。

はい、承知しました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

直角三角形ABCにおいて、$AB=5$, $BC=12$, $CA=13$ とする。∠Aの二等分線と辺BCの交点をDとする。

(1) 線分ADの長さを求めよ。

(2) ∠Aの二等分線と△ABCの外接円の交点のうち、点Aと異なる点をEとする。線分DEの長さを求めよ。

(3) △ABCの外接円の中心をOとし、線分BOと線分ADの交点をPとする。AP:PDを求めよ。

(4) △ABCの内接円の中心をIとする。AI: IDを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 線分ADの長さを求める。

三角形の内角の二等分線の性質より、

$BD:DC = AB:AC = 5:13$

$BC = BD + DC = 12$なので、

$BD = 12 \times \frac{5}{5+13} = 12 \times \frac{5}{18} = \frac{10}{3}$

$DC = 12 \times \frac{13}{18} = \frac{26}{3}$

次に、三角形ABDにおいて、余弦定理を用いる。

$AD^2 = AB^2 + BD^2 - 2 \times AB \times BD \times \cos B$

ここで、$\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{5}{13}$であるから、

$AD^2 = 5^2 + (\frac{10}{3})^2 - 2 \times 5 \times \frac{10}{3} \times \frac{5}{13} = 25 + \frac{100}{9} - \frac{500}{39} = \frac{25 \times 39 \times 9 + 100 \times 39 - 500 \times 9}{39 \times 9} = \frac{8775 + 3900 - 4500}{351} = \frac{8175 + 3900 - 4500}{351} = \frac{8175}{351} = \frac{2725}{117} = \frac{25\times 109}{9\times 13}$

$AD = \sqrt{\frac{8175}{351}} = \sqrt{\frac{2725}{117}} = 5\sqrt{\frac{109}{117}} = \frac{5}{3\sqrt{13}} \sqrt{109}$

より、$AD = \frac{5 \sqrt{1417}}{39}$

しかし、内角の二等分線の長さの公式を用いるとより簡単に求まる。

$AD^2 = AB \cdot AC - BD \cdot DC$

$AD^2 = 5 \cdot 13 - \frac{10}{3} \cdot \frac{26}{3} = 65 - \frac{260}{9} = \frac{585 - 260}{9} = \frac{325}{9}$

$AD = \sqrt{\frac{325}{9}} = \frac{5 \sqrt{13}}{3}$

(2) 線分DEの長さを求める。

∠BAE = ∠CAEより、弧BE = 弧CE。よって、BE = CE。

∠EBC = ∠EAC = ∠BAEより、BEは△ABDの外接円の接線。

方べきの定理より、$BE^2 = BD \cdot BC = \frac{10}{3} \times 12 = 40$

$BE = \sqrt{40} = 2 \sqrt{10}$

同様に、CE = $2 \sqrt{10}$

また、∠EBC = ∠EAC = ∠BAE = ∠DAC

∠BCE = ∠BAE = ∠DAC

よって、△EBC∽△DAC

DEの長さを求めるには、△ADEにおいて余弦定理を用いる。

AEの長さを求める。

$AE \times AD = AB \times AC$

$AE \times \frac{5 \sqrt{13}}{3} = 5 \times 13$

$AE = \frac{5 \times 13 \times 3}{5 \sqrt{13}} = \frac{39}{\sqrt{13}} = 3 \sqrt{13}$

$DE^2 = AD^2 + AE^2 - 2 \times AD \times AE \times \cos \frac{A}{2}$

(3) AP:PDを求めよ。

方べきの定理

$BP \times BO = BD \times BC$

$BP : PO$

(4) AI: IDを求めよ。

3. 最終的な答え

(1) $AD = \frac{5\sqrt{13}}{3}$

(2)

(3)

(4)