線分ABを1:2に内分する点をC、3:1に外分する点をDとするとき、以下のベクトルをベクトルABで表す問題です。 (1) ベクトルACをベクトルABで表す。 (2) ベクトルADをベクトルABで表す。 (3) ベクトルBCをベクトルABで表す。

1. 問題の内容

線分ABを1:2に内分する点をC、3:1に外分する点をDとするとき、以下のベクトルをベクトルABで表す問題です。

(1) ベクトルACをベクトルABで表す。

(2) ベクトルADをベクトルABで表す。

(3) ベクトルBCをベクトルABで表す。

2. 解き方の手順

(1) 点Cは線分ABを1:2に内分するので、内分点の公式より、ベクトルACは

$\overrightarrow{AC} = \frac{1}{1+2} \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2) 点Dは線分ABを3:1に外分するので、外分点の公式より、ベクトルADは

$\overrightarrow{AD} = \frac{3}{3-1} \overrightarrow{AB} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$

(3) ベクトルBCは、ベクトルACとベクトルABを用いて表すことができます。

$\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AB} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AC} = \frac{1}{3} \overrightarrow{AB}$

(2) $\overrightarrow{AD} = \frac{3}{2} \overrightarrow{AB}$

(3) $\overrightarrow{BC} = -\frac{2}{3} \overrightarrow{AB}$