問題は2つあります。 (1) 一辺の長さが2の正四面体ABCDにおいて、内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC}$ の値を求める。ただし、EはBCの中点である。 (2) 平行六面体ABCD-EFGHにおいて、線分GHを2:1に内分する点をIとする。$\overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ である。また、線分AIと平面BDEの交点をJとするとき、$\overrightarrow{AJ} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{8}\overrightarrow{AD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{AE}$ である。 この問題は$\overrightarrow{AI}$の表現が誤りなので，正しい$\overrightarrow{AI}$を求め、線分AIと平面BDEの交点をJとするとき、$\overrightarrow{AJ}$の正しい表現を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) 一辺の長さが2の正四面体ABCDにおいて、内積 $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ と $\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC}$ の値を求める。ただし、EはBCの中点である。

(2) 平行六面体ABCD-EFGHにおいて、線分GHを2:1に内分する点をIとする。$\overrightarrow{AI} = \frac{3}{4}\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE}$ である。また、線分AIと平面BDEの交点をJとするとき、$\overrightarrow{AJ} = \frac{5}{6}\overrightarrow{AB} + \frac{7}{8}\overrightarrow{AD} + \frac{9}{10}\overrightarrow{AE}$ である。 この問題は$\overrightarrow{AI}$の表現が誤りなので，正しい$\overrightarrow{AI}$を求め、線分AIと平面BDEの交点をJとするとき、$\overrightarrow{AJ}$の正しい表現を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD}$ を求める。

正四面体の一辺の長さは2なので、 $|\overrightarrow{AC}| = 2$ かつ $|\overrightarrow{AD}| = 2$ であり、$\angle CAD = 60^\circ$ である。

よって、$\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = |\overrightarrow{AC}| |\overrightarrow{AD}| \cos{60^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$。

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC}$ を求める。

EはBCの中点なので、$\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{EC} = \frac{1}{2} \overrightarrow{BC}$

$\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = (\overrightarrow{AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}) \cdot \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} + \frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|^2$

$|\overrightarrow{BC}| = 2$ なので、$\frac{1}{2}|\overrightarrow{BC}|^2 = \frac{1}{2} \cdot 2^2 = 2$

$\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{BC} = |\overrightarrow{AB}||\overrightarrow{BC}|\cos{\angle ABC} = 2 \cdot 2 \cdot \cos{120^\circ} = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

よって、$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = -2 + 2 = 0$

(2) $\overrightarrow{AI}$を求める。

Iは線分GHを2:1に内分する点なので、$\overrightarrow{GI} = \frac{2}{3}\overrightarrow{GH}$

$\overrightarrow{AI} = \overrightarrow{AG} + \overrightarrow{GI} = \overrightarrow{AG} + \frac{2}{3}\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CG} + \frac{2}{3}\overrightarrow{GH}$

$\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AE} + \frac{2}{3}(\overrightarrow{AE} - \overrightarrow{AD} - \overrightarrow{AB})$

$= \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{5}{3}\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AJ}$を求める。

Jは線分AI上の点なので、$\overrightarrow{AJ} = k \overrightarrow{AI}$ と表せる。

$\overrightarrow{AJ} = \frac{k}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{k}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{5k}{3}\overrightarrow{AE}$

また、Jは平面BDE上の点なので、$\overrightarrow{AJ} = s\overrightarrow{AB} + t\overrightarrow{AD} + u\overrightarrow{AE}$ と表せるとすると、

$s + t + u = 1$ が成り立つ。

よって、$\frac{k}{3} + \frac{k}{3} + \frac{5k}{3} = 1$

$\frac{7k}{3} = 1$ より、$k = \frac{3}{7}$

$\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}\overrightarrow{AD} + \frac{5}{7}\overrightarrow{AE}$

3. 最終的な答え

(1) $\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{AD} = 2$

$\overrightarrow{AE} \cdot \overrightarrow{BC} = 0$

(2) $\overrightarrow{AI} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{5}{3}\overrightarrow{AE}$

$\overrightarrow{AJ} = \frac{1}{7}\overrightarrow{AB} + \frac{1}{7}\overrightarrow{AD} + \frac{5}{7}\overrightarrow{AE}$