円に内接する四角形ABCDにおいて、点Pから2本の直線が円とA, B, C, Dで交わっている。CP=13, DP=12, AD=x, BC=y, ∠ABP=90°, AD=2CDのとき、x, yの値を求める問題です。

1. 問題の内容

円に内接する四角形ABCDにおいて、点Pから2本の直線が円とA, B, C, Dで交わっている。CP=13, DP=12, AD=x, BC=y, ∠ABP=90°, AD=2CDのとき、x, yの値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、方べきの定理から $PA \cdot PB = PC \cdot PD$ が成り立ちます。

$PC=13$, $PD=12$より、$PC \cdot PD = 13 \cdot 12 = 156$です。

次に、$\angle ABP=90^\circ$なので、線分APは円の直径となります。

AD = 2CDより、円周角の定理から$\angle CAD = 2 \angle CBD$が分かります。

また、$\angle ABP=90^\circ$なので、三角形ABPは直角三角形です。

PAを円の直径とすると、PA = x + CDです。AD = 2CDなので、CD = x/2です。

したがってPA = x + x/2 = 3x/2となります。

方べきの定理により、$PA \cdot PB = PC \cdot PD$です。

$PA = \frac{3x}{2}$であり、$PB = y$です。

よって、$\frac{3x}{2}y = 156$となり、$xy = \frac{2}{3} \cdot 156 = 2 \cdot 52 = 104$となります。

また、円に内接する四角形において、対角の和は180度です。

$\angle ABC + \angle ADC = 180^\circ$ですが、$\angle ABC = 90^\circ$なので、$\angle ADC = 90^\circ$です。

したがって、四角形ABCDはABとCDを底辺とする台形であることがわかります。

ここで、$AD=x$、$CD = x/2$、$BC=y$です。

四角形ABCDにおいて、方べきの定理を利用します。

$PA \cdot PB = PC \cdot PD = 156$

$PA = x + \frac{x}{2} = \frac{3x}{2}$

$PB = PA \cos{\angle APB}$

また、円に内接する四角形の性質から$\angle ADC + \angle ABC = 180^\circ$となります。

$\angle ABC=90^\circ$なので、$\angle ADC=90^\circ$です。

したがって、ACが直径であることがわかります。

$PA = \frac{3x}{2}, PC=13, PB=y, PD=12$

$\frac{3x}{2}y = 13 \cdot 12 = 156$

$xy = \frac{2}{3} \cdot 156 = 104$

ここで、$\angle ABP=90^\circ$なので、ACが直径になります。

$AD^2 + CD^2 = AC^2 = AB^2 + BC^2$

$x^2 + (x/2)^2 = AB^2 + y^2$

ここで、$∠ABP = 90°$であり、ACが直径なので、ABはADの正射影、CBはCDの正射影です。

$PA*PB = PC*PD = 156$を計算すると、

$(\frac{3x}{2})* y = 156$

$xy = 104$

$\frac{x}{y} = \frac{x^{2}}{104}$

x=13の時、y=8です。

3. 最終的な答え

$x = 8$, $y = 13$