次の関数の最大値と最小値を求める問題です。 (1) $y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$ (2) $y = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

1. 問題の内容

次の関数の最大値と最小値を求める問題です。

(1) $y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta$

(2) $y = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

2. 解き方の手順

(1)

三角関数の合成を行います。

$y = \sqrt{3}\sin\theta - \cos\theta = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}\sin\theta - \frac{1}{2}\cos\theta) = 2(\sin\theta\cos\frac{\pi}{6} - \cos\theta\sin\frac{\pi}{6}) = 2\sin(\theta - \frac{\pi}{6})$

ここで、$\frac{\pi}{6}$は30°です。したがって、

$y = 2\sin(\theta - 30^\circ)$

$-1 \le \sin(\theta - 30^\circ) \le 1$なので、

$-2 \le 2\sin(\theta - 30^\circ) \le 2$

したがって、最大値は2、最小値は-2です。

(2)

三角関数の合成を行います。

$y = -\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2(-\frac{1}{2}\sin\theta + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos\theta) = 2(\cos\theta\cos\frac{5\pi}{6} + \sin\theta\sin\frac{5\pi}{6}) = 2\sin(\theta + \frac{2\pi}{3})$

ここで、$\frac{2\pi}{3}$は120°です。したがって、

$y = 2\cos(\theta + 120^\circ)$

$-1 \le \sin(\theta + 120^\circ) \le 1$なので、

$-2 \le 2\sin(\theta + 120^\circ) \le 2$

したがって、最大値は2、最小値は-2です。

3. 最終的な答え

(1)

最大値: 2

最小値: -2

(2)

最大値: 2

最小値: -2