三角形ABCにおいて、$a=3$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$のとき、辺CAの長さ、つまり$b$を求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=3$, $B=45^\circ$, $C=75^\circ$のとき、辺CAの長さ、つまり$b$を求めよ。

2. 解き方の手順

正弦定理を用いて解く。

まず、角Aの大きさを求める。

$A + B + C = 180^\circ$ より、$A = 180^\circ - B - C = 180^\circ - 45^\circ - 75^\circ = 60^\circ$

正弦定理より、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$

$\frac{3}{\sin 60^\circ} = \frac{b}{\sin 45^\circ}$

$b = \frac{3 \sin 45^\circ}{\sin 60^\circ}$

$\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ より、

$b = \frac{3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{3 \sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{3 \sqrt{2} \sqrt{3}}{3} = \sqrt{6}$

3. 最終的な答え

$\sqrt{6}$