(1) ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが 3 であるベクトル $\vec{c}$ を求めよ。 (2) ベクトル $\vec{a} = (2, 1, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (1, -1, -1)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

はい、承知いたしました。画像の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a} = (2, -2, 1)$ とベクトル $\vec{b} = (2, 3, -4)$ の両方に垂直で、大きさが 3 であるベクトル $\vec{c}$ を求めよ。

(2) ベクトル $\vec{a} = (2, 1, -2)$ とベクトル $\vec{b} = (1, -1, -1)$ の両方に垂直な単位ベクトル $\vec{e}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) ベクトル $\vec{c}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なので、$\vec{c}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積に平行です。まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} (-2) \cdot (-4) - 1 \cdot 3 \\ 1 \cdot 2 - 2 \cdot (-4) \\ 2 \cdot 3 - (-2) \cdot 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 - 3 \\ 2 + 8 \\ 6 + 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 10 \\ 10 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b} = (5, 10, 10)$

したがって、ベクトル $\vec{c}$ は $(5, 10, 10)$ に平行であるので、$\vec{c} = k(5, 10, 10)$ と表すことができます。ここで、$k$ は実数です。

$\vec{c}$ の大きさは 3 であるので、$\| \vec{c} \| = 3$ です。

$\| \vec{c} \| = |k| \cdot \|(5, 10, 10)\| = |k| \cdot \sqrt{5^2 + 10^2 + 10^2} = |k| \cdot \sqrt{25 + 100 + 100} = |k| \cdot \sqrt{225} = |k| \cdot 15$

$|k| \cdot 15 = 3$ より、$|k| = \frac{3}{15} = \frac{1}{5}$ です。

したがって、$k = \pm \frac{1}{5}$ です。

$k = \frac{1}{5}$ のとき、$\vec{c} = \frac{1}{5}(5, 10, 10) = (1, 2, 2)$

$k = -\frac{1}{5}$ のとき、$\vec{c} = -\frac{1}{5}(5, 10, 10) = (-1, -2, -2)$

(2) ベクトル $\vec{e}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の両方に垂直なので、$\vec{e}$ は $\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積に平行です。まず、$\vec{a}$ と $\vec{b}$ の外積を計算します。

$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -2 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot (-1) - (-2) \cdot (-1) \\ (-2) \cdot 1 - 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot (-1) - 1 \cdot 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 - 2 \\ -2 + 2 \\ -2 - 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \\ 0 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{a} \times \vec{b} = (-3, 0, -3)$

したがって、ベクトル $\vec{e}$ は $(-3, 0, -3)$ に平行であるので、$\vec{e} = k(-3, 0, -3)$ と表すことができます。ここで、$k$ は実数です。

$\vec{e}$ は単位ベクトルであるので、$\| \vec{e} \| = 1$ です。

$\| \vec{e} \| = |k| \cdot \|(-3, 0, -3)\| = |k| \cdot \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + (-3)^2} = |k| \cdot \sqrt{9 + 0 + 9} = |k| \cdot \sqrt{18} = |k| \cdot 3\sqrt{2}$

$|k| \cdot 3\sqrt{2} = 1$ より、$|k| = \frac{1}{3\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{6}$ です。

したがって、$k = \pm \frac{\sqrt{2}}{6}$ です。

$k = \frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき、$\vec{e} = \frac{\sqrt{2}}{6}(-3, 0, -3) = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$

$k = -\frac{\sqrt{2}}{6}$ のとき、$\vec{e} = -\frac{\sqrt{2}}{6}(-3, 0, -3) = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$

3. 最終的な答え

(1) $\vec{c} = (1, 2, 2)$ または $\vec{c} = (-1, -2, -2)$

(2) $\vec{e} = (-\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, -\frac{\sqrt{2}}{2})$ または $\vec{e} = (\frac{\sqrt{2}}{2}, 0, \frac{\sqrt{2}}{2})$