ベクトル $\vec{a}=(-4, 3)$ と $\vec{b}=(3, 1)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ の絶対値 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、そのときの $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}=(-4, 3)$ と $\vec{b}=(3, 1)$ が与えられたとき、ベクトル $\vec{a} + t\vec{b}$ の絶対値 $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求め、そのときの $\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + t\vec{b} = (-4, 3) + t(3, 1) = (-4+3t, 3+t)$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算する。

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2 = (-4+3t)^2 + (3+t)^2 = (16 - 24t + 9t^2) + (9 + 6t + t^2) = 10t^2 - 18t + 25$

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を最小にする $t$ の値を求めるために、平方完成する。

$10t^2 - 18t + 25 = 10(t^2 - \frac{9}{5}t) + 25 = 10(t - \frac{9}{10})^2 - 10(\frac{81}{100}) + 25 = 10(t - \frac{9}{10})^2 - \frac{81}{10} + \frac{250}{10} = 10(t - \frac{9}{10})^2 + \frac{169}{10}$

よって、$t = \frac{9}{10}$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は最小値 $\frac{169}{10}$ をとる。したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値は $\sqrt{\frac{169}{10}} = \frac{13}{\sqrt{10}} = \frac{13\sqrt{10}}{10}$

次に、$t = \frac{9}{10}$ のときの $\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$\vec{a} + \frac{9}{10}\vec{b} = (-4 + 3(\frac{9}{10}), 3 + \frac{9}{10}) = (-4 + \frac{27}{10}, \frac{30}{10} + \frac{9}{10}) = (-\frac{40}{10} + \frac{27}{10}, \frac{39}{10}) = (-\frac{13}{10}, \frac{39}{10})$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とすると、

$\cos\theta = \frac{(\vec{a} + t\vec{b}) \cdot \vec{b}}{|\vec{a} + t\vec{b}| |\vec{b}|} = \frac{(-\frac{13}{10}, \frac{39}{10}) \cdot (3, 1)}{\frac{13}{\sqrt{10}} \sqrt{3^2 + 1^2}} = \frac{-\frac{39}{10} + \frac{39}{10}}{\frac{13}{\sqrt{10}} \sqrt{10}} = \frac{0}{13} = 0$

したがって、$\theta = \frac{\pi}{2}$

3. 最終的な答え

$|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値: $\frac{13\sqrt{10}}{10}$

$\vec{a} + t\vec{b}$ と $\vec{b}$ のなす角: $\frac{\pi}{2}$