直線 $(1+k)x - (1-3k)y = -7k - 1$ が、定数 $k$ の値に関わらず、ある定点を通ることを示し、その定点の座標を求める。

1. 問題の内容

直線 $(1+k)x - (1-3k)y = -7k - 1$ が、定数 $k$ の値に関わらず、ある定点を通ることを示し、その定点の座標を求める。

2. 解き方の手順

与えられた直線の式を $k$ について整理します。

$(1+k)x - (1-3k)y = -7k - 1$

$x + kx - y + 3ky = -7k - 1$

$kx + 3ky + 7k = -x + y - 1$

$k(x + 3y + 7) = -x + y - 1$

$k(x + 3y + 7) + (x - y + 1) = 0$

この式が任意の $k$ について成り立つためには、

$x + 3y + 7 = 0$

かつ

$x - y + 1 = 0$

でなければなりません。

この連立方程式を解きます。

$x + 3y = -7$

$x - y = -1$

上の式から下の式を引くと、

$4y = -6$

$y = -\frac{3}{2}$

$x = y - 1 = -\frac{3}{2} - 1 = -\frac{5}{2}$

したがって、求める定点の座標は $(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$ です。

3. 最終的な答え

$(-\frac{5}{2}, -\frac{3}{2})$