(1) ベクトル $\vec{a}=(1,2)$ と $\vec{b}=(k,4)$ に対して、$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{b}-\vec{a}$ が平行であるとき、$k$ の値を求める。また、$3\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$k$ の値を求める。 (2) ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が $|\vec{a}+\vec{b}|=11$、 $|\vec{a}-\vec{b}|=7$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。 (3) 空間の2つのベクトル $\vec{a}=(2,3,1)$、$\vec{b}=(-1,2,3)$ の両方に垂直で大きさが1のベクトルを求める。

1. 問題の内容

(1) ベクトル $\vec{a}=(1,2)$ と $\vec{b}=(k,4)$ に対して、$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{b}-\vec{a}$ が平行であるとき、$k$ の値を求める。また、$3\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$k$ の値を求める。

(2) ベクトル $\vec{a}$、$\vec{b}$ が $|\vec{a}+\vec{b}|=11$、 $|\vec{a}-\vec{b}|=7$ を満たすとき、内積 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ を求める。

(3) 空間の2つのベクトル $\vec{a}=(2,3,1)$、$\vec{b}=(-1,2,3)$ の両方に垂直で大きさが1のベクトルを求める。

2. 解き方の手順

(1)

* $\vec{a}-\vec{b} = (1-k, 2-4) = (1-k, -2)$

* $2\vec{b}-\vec{a} = (2k-1, 8-2) = (2k-1, 6)$

$\vec{a}-\vec{b}$ と $2\vec{b}-\vec{a}$ が平行であるとき、ある実数 $t$ が存在して $\vec{a}-\vec{b} = t(2\vec{b}-\vec{a})$ となる。

したがって、

$1-k = t(2k-1)$

$-2 = 6t$

$t = -\frac{1}{3}$

$1-k = -\frac{1}{3}(2k-1)$

$3-3k = -2k+1$

$2 = k$

ゆえに、$k=2$

* $3\vec{a}-\vec{b} = (3-k, 6-4) = (3-k, 2)$

* $\vec{a}+\vec{b} = (1+k, 2+4) = (1+k, 6)$

$3\vec{a}-\vec{b}$ と $\vec{a}+\vec{b}$ が垂直であるとき、$(3\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b})=0$ となる。

$(3-k)(1+k) + 2 \times 6 = 0$

$3+3k-k-k^2+12 = 0$

$-k^2+2k+15=0$

$k^2-2k-15=0$

$(k-5)(k+3)=0$

$k=5, -3$

(2)

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = (\vec{a}+\vec{b}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}) = |\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 11^2 = 121$

$|\vec{a}-\vec{b}|^2 = (\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-\vec{b}) = |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 = 7^2 = 49$

$|\vec{a}|^2 + 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2 - (|\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2) = 121-49$

$4\vec{a} \cdot \vec{b} = 72$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

(3)

$\vec{c} = (x, y, z)$ とすると、$\vec{a} \cdot \vec{c} = 0$ かつ $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$ である。

$2x+3y+z = 0$

$-x+2y+3z = 0$

$z = -2x-3y$

$-x+2y+3(-2x-3y) = 0$

$-x+2y-6x-9y = 0$

$-7x-7y = 0$

$x = -y$

$z = -2(-y)-3y = 2y-3y = -y$

$\vec{c} = (-y, y, -y) = y(-1, 1, -1)$

$|\vec{c}| = \sqrt{(-y)^2 + y^2 + (-y)^2} = \sqrt{3y^2} = |y|\sqrt{3} = 1$

$|y| = \frac{1}{\sqrt{3}}$

$y = \pm \frac{1}{\sqrt{3}} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

$\vec{c} = \pm \frac{\sqrt{3}}{3}(-1, 1, -1) = \pm (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$

3. 最終的な答え

(1) $k=2$, $k=5,-3$

(2) $\vec{a} \cdot \vec{b} = 18$

(3) $\pm (-\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}, -\frac{\sqrt{3}}{3})$