2次関数 $y = x^2 + 4x + 2k - 3$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないときの、定数 $k$ の値または範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 4x + 2k - 3$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たないときの、定数 $k$ の値または範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフが $x$ 軸と共有点を持たない条件は、2次方程式 $x^2 + 4x + 2k - 3 = 0$ が実数解を持たない、つまり判別式 $D$ が負であることです。

判別式 $D$ を計算します。

$D = b^2 - 4ac$

この場合、$a = 1$, $b = 4$, $c = 2k - 3$ です。したがって、

$D = 4^2 - 4(1)(2k - 3)$

$D = 16 - 8k + 12$

$D = 28 - 8k$

グラフが $x$ 軸と共有点を持たない条件は $D < 0$ であるので、

$28 - 8k < 0$

$8k > 28$

$k > \frac{28}{8}$

$k > \frac{7}{2}$

3. 最終的な答え

$k > \frac{7}{2}$