2次関数 $y = x^2 + 2kx + (k^2 + 3k - 1)$ のグラフとx軸の共有点の個数が1個であるとき、定数kの値または範囲を求める問題です。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 2kx + (k^2 + 3k - 1)$ のグラフとx軸の共有点の個数が1個であるとき、定数kの値または範囲を求める問題です。

2. 解き方の手順

2次関数のグラフとx軸の共有点の個数が1個であるということは、グラフがx軸に接するということです。

したがって、2次方程式 $x^2 + 2kx + (k^2 + 3k - 1) = 0$ が重解を持つことになります。

2次方程式が重解を持つための条件は、判別式Dが0になることです。

判別式Dは以下の式で計算されます。

$D = b^2 - 4ac$

ここで、$a = 1, b = 2k, c = k^2 + 3k - 1$ なので、判別式は、

$D = (2k)^2 - 4(1)(k^2 + 3k - 1)$

$D = 4k^2 - 4k^2 - 12k + 4$

$D = -12k + 4$

グラフとx軸の共有点が1個である条件は、$D = 0$ なので、

$-12k + 4 = 0$

$12k = 4$

$k = \frac{4}{12}$

$k = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$k = \frac{1}{3}$