正の定数 $a$ に対して、関数 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + a(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta) - 6a^2 + 1$ が与えられている。 (1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に表す。（ただし $r > 0$, $-\pi < \alpha \leq \pi$） (2) $t = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の2次式で表す。 (3) 方程式 $f(\theta) = 0$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) について考える。 (i) $a = 1$ のとき、方程式を解く。 (ii) 方程式の異なる解の個数がちょうど2個となるような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

正の定数 $a$ に対して、関数 $f(\theta) = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + a(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta) - 6a^2 + 1$ が与えられている。

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を $r\sin(\theta + \alpha)$ の形に表す。（ただし $r > 0$, $-\pi < \alpha \leq \pi$）

(2) $t = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ とおくとき、$f(\theta)$ を $t$ の2次式で表す。

(3) 方程式 $f(\theta) = 0$ ($0 \leq \theta \leq \pi$) について考える。

(i) $a = 1$ のとき、方程式を解く。

(ii) 方程式の異なる解の個数がちょうど2個となるような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta$ を合成する。

$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$ とおくと、

$r = \sqrt{(\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{3+1} = 2$

$\cos\alpha = \frac{\sqrt{3}}{2}$、 $\sin\alpha = \frac{1}{2}$ より、 $\alpha = \frac{\pi}{6}$

よって、$\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $t = \sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

$f(\theta) = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + a(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta) - 6a^2 + 1$

$2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = 1 - \cos2\theta + \sqrt{3}\sin2\theta = \sqrt{3}\sin2\theta - \cos2\theta + 1$

$t^2 = (\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta)^2 = 3\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + \cos^2\theta = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 1$

なので $t^2 = 2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta + 1$ より

$2\sin^2\theta + 2\sqrt{3}\sin\theta\cos\theta = t^2 - 1$

したがって、$f(\theta) = t^2 - 1 + at - 6a^2 + 1 = t^2 + at - 6a^2$

(3)

(i) $a = 1$ のとき、 $f(\theta) = t^2 + t - 6 = (t+3)(t-2) = 0$

$t = -3$ または $t = 2$

$t = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ なので、

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = -3$ は $-1 \le \sin x \le 1$ より解なし。

$2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 2$ より $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 1$

$\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ よって $\theta = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{6} = \frac{3\pi - \pi}{6} = \frac{2\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$

(ii) $f(\theta) = t^2 + at - 6a^2 = (t+3a)(t-2a) = 0$

$t = -3a$ または $t = 2a$

$t = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$ なので、 $0 \le \theta \le \pi$ のとき、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} \le \frac{7\pi}{6}$

$-\frac{1}{2} \le \sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le 1$

$-1 \le 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) \le 2$ よって $-1 \le t \le 2$

$t = -3a$ のとき $-1 \le -3a \le 2$ より $-\frac{2}{3} \le a \le \frac{1}{3}$

$t = 2a$ のとき $-1 \le 2a \le 2$ より $-\frac{1}{2} \le a \le 1$

$a > 0$ より、$0 < a \le \frac{1}{3}$ または $0 < a \le 1$

$t = -3a$ の解が1つ、 $t=2a$ の解が1つの場合、 または、$t = -3a$ (または $t=2a$) の解が1つで、もう一方は解を持たない場合。または$t = -3a$ (または $t=2a$) が重解になる場合。

異なる解が2個となる場合を考える。

(i) $t = -3a$ が解をもち、 $t=2a$ も解を持つ場合。

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{3}$ なので $-1 \le -3a \le 2$, $-1 \le 2a \le 2$

(ii) $t = -3a = t=2a$ つまり $5a=0 \Rightarrow a =0$ は $a > 0$ に反する

(iii) $t = 2$のとき $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = 2$. $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{2}$ よって $\theta = \frac{\pi}{3}$。 $2a=2$. $a=1$。 $t = -3a = -3$ に解はない。

(iv) $t = -1$のとき $2\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = -1$ $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}, \frac{11\pi}{6}$. よって $\theta = \pi, \frac{5\pi}{3}$. $-3a = -1$ $a=\frac{1}{3}$. $t = 2a = \frac{2}{3}$. $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{3}$.解は2つ。

$t=2$: $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})=1$: 1つの解。$t=2a = 2$. $a=1>0$. $-1 \le -3 \le 2$ (解なし)

$t=-1$: $\sin(\theta + \frac{\pi}{6})=-\frac{1}{2}$: $\theta + \frac{\pi}{6} = \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{11\pi}{6}$. $a = \frac{1}{3}$

$a = 1$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}$

$0 < a < \frac{1}{2}$ または $1 < a$ のとき、$f(\theta) = 0$ が2個の解を持つ。

3. 最終的な答え

(1) $\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin(\theta + \frac{\pi}{6})$

(2) $f(\theta) = t^2 + at - 6a^2$

(3) (i) $\theta = \frac{\pi}{3}$

(ii) $a=1, a= \frac{1}{3}$