与えられた3つの関数について、それぞれの極大値および極小値を求めます。 (1) $f(x) = x^4 - 2x^2$ (2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ (3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$

はい、承知しました。問題文にある3つの関数について、それぞれの極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた3つの関数について、それぞれの極大値および極小値を求めます。

(1) $f(x) = x^4 - 2x^2$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$

(3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$

2. 解き方の手順

極値を求めるには、以下の手順を踏みます。

(1) 導関数 $f'(x)$ を求める。

(2) $f'(x) = 0$ となる $x$ を求める（臨界点）。

(3) 2階導関数 $f''(x)$ を求める。

(4) 各臨界点における $f''(x)$ の符号を調べる。

- $f''(x) > 0$ ならば、その点で極小値をとる。

- $f''(x) < 0$ ならば、その点で極大値をとる。

- $f''(x) = 0$ ならば、その点では極値をとらない可能性がある（さらに高階の微分を調べる必要がある）。

(5) 極値を与える $x$ を元の関数 $f(x)$ に代入して、極値を求める。

(1) $f(x) = x^4 - 2x^2$ の場合

$f'(x) = 4x^3 - 4x = 4x(x^2 - 1) = 4x(x-1)(x+1)$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = -1, 0, 1$

$f''(x) = 12x^2 - 4$

- $x = -1$ のとき、$f''(-1) = 12(-1)^2 - 4 = 8 > 0$ なので、極小値をとる。

$f(-1) = (-1)^4 - 2(-1)^2 = 1 - 2 = -1$

- $x = 0$ のとき、$f''(0) = 12(0)^2 - 4 = -4 < 0$ なので、極大値をとる。

$f(0) = (0)^4 - 2(0)^2 = 0$

- $x = 1$ のとき、$f''(1) = 12(1)^2 - 4 = 8 > 0$ なので、極小値をとる。

$f(1) = (1)^4 - 2(1)^2 = 1 - 2 = -1$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$ の場合

$f'(x) = \frac{2x(x-1) - x^2}{(x-1)^2} = \frac{2x^2 - 2x - x^2}{(x-1)^2} = \frac{x^2 - 2x}{(x-1)^2} = \frac{x(x-2)}{(x-1)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x = 0, 2$

$f''(x) = \frac{(2x-2)(x-1)^2 - (x^2-2x)2(x-1)}{(x-1)^4} = \frac{(2x-2)(x-1) - 2(x^2-2x)}{(x-1)^3} = \frac{2x^2 - 4x + 2 - 2x^2 + 4x}{(x-1)^3} = \frac{2}{(x-1)^3}$

- $x = 0$ のとき、$f''(0) = \frac{2}{(0-1)^3} = \frac{2}{-1} = -2 < 0$ なので、極大値をとる。

$f(0) = \frac{0^2}{0-1} = 0$

- $x = 2$ のとき、$f''(2) = \frac{2}{(2-1)^3} = \frac{2}{1} = 2 > 0$ なので、極小値をとる。

$f(2) = \frac{2^2}{2-1} = \frac{4}{1} = 4$

(3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$ の場合

$f'(x) = \frac{2x(x-2) - (x^2-1)}{(x-2)^2} = \frac{2x^2 - 4x - x^2 + 1}{(x-2)^2} = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}$

$f'(x) = 0$ となるのは、$x^2 - 4x + 1 = 0$ のとき。

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 4}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{4 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 2 \pm \sqrt{3}$

$f''(x) = \frac{(2x-4)(x-2)^2 - (x^2-4x+1)2(x-2)}{(x-2)^4} = \frac{(2x-4)(x-2) - 2(x^2-4x+1)}{(x-2)^3} = \frac{2x^2 - 8x + 8 - 2x^2 + 8x - 2}{(x-2)^3} = \frac{6}{(x-2)^3}$

- $x = 2 - \sqrt{3}$ のとき、$f''(2-\sqrt{3}) = \frac{6}{(2-\sqrt{3}-2)^3} = \frac{6}{(-\sqrt{3})^3} = \frac{6}{-3\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}} < 0$ なので、極大値をとる。

$f(2-\sqrt{3}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2 - 1}{2-\sqrt{3}-2} = \frac{4 - 4\sqrt{3} + 3 - 1}{-\sqrt{3}} = \frac{6 - 4\sqrt{3}}{-\sqrt{3}} = \frac{-6 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{-6\sqrt{3} + 12}{3} = 4 - 2\sqrt{3}$

- $x = 2 + \sqrt{3}$ のとき、$f''(2+\sqrt{3}) = \frac{6}{(2+\sqrt{3}-2)^3} = \frac{6}{(\sqrt{3})^3} = \frac{6}{3\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} > 0$ なので、極小値をとる。

$f(2+\sqrt{3}) = \frac{(2+\sqrt{3})^2 - 1}{2+\sqrt{3}-2} = \frac{4 + 4\sqrt{3} + 3 - 1}{\sqrt{3}} = \frac{6 + 4\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3} + 12}{3} = 4 + 2\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

(1) $f(x) = x^4 - 2x^2$:

- 極大値: $f(0) = 0$

- 極小値: $f(-1) = -1$, $f(1) = -1$

(2) $f(x) = \frac{x^2}{x-1}$:

- 極大値: $f(0) = 0$

- 極小値: $f(2) = 4$

(3) $f(x) = \frac{x^2-1}{x-2}$:

- 極大値: $f(2-\sqrt{3}) = 4 - 2\sqrt{3}$

- 極小値: $f(2+\sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3}$