$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。 (1) $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$ (2) $2\cos^2\theta \leq 3\sin\theta$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で、次の(1)の方程式と(2)の不等式を解く。

(1) $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

(2) $2\cos^2\theta \leq 3\sin\theta$

2. 解き方の手順

(1) $2\sin^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

$\sin^2\theta = 1 - \cos^2\theta$ を用いて、$\cos\theta$ のみの式にする。

$2(1 - \cos^2\theta) + \cos\theta - 2 = 0$

$2 - 2\cos^2\theta + \cos\theta - 2 = 0$

$-2\cos^2\theta + \cos\theta = 0$

$\cos\theta (1 - 2\cos\theta) = 0$

したがって、$\cos\theta = 0$ または $\cos\theta = \frac{1}{2}$ となる。

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、

$\cos\theta = 0$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

$\cos\theta = \frac{1}{2}$ のとき、$\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $2\cos^2\theta \leq 3\sin\theta$

$\cos^2\theta = 1 - \sin^2\theta$ を用いて、$\sin\theta$ のみの式にする。

$2(1 - \sin^2\theta) \leq 3\sin\theta$

$2 - 2\sin^2\theta \leq 3\sin\theta$

$2\sin^2\theta + 3\sin\theta - 2 \geq 0$

$(2\sin\theta - 1)(\sin\theta + 2) \geq 0$

$\sin\theta + 2 > 0$ であるから、$2\sin\theta - 1 \geq 0$ より、

$\sin\theta \geq \frac{1}{2}$

$0 \leq \theta < 2\pi$ の範囲で考えると、$\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

(2) $\frac{\pi}{6} \leq \theta \leq \frac{5\pi}{6}$