2つの曲線 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 4x + 5$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

1. 問題の内容

2つの曲線 $y = x^2 + 1$ と $y = -x^2 + 4x + 5$ で囲まれた図形の面積を求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 2つの曲線の交点の座標を求めます。

2つの式を連立させ、$x$ について解きます。

$x^2 + 1 = -x^2 + 4x + 5$

$2x^2 - 4x - 4 = 0$

$x^2 - 2x - 2 = 0$

解の公式より、

$x = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{3}}{2} = 1 \pm \sqrt{3}$

交点の $x$ 座標は $1 - \sqrt{3}$ と $1 + \sqrt{3}$ です。

(2) 囲まれた図形の面積を計算します。

$1 - \sqrt{3} \le x \le 1 + \sqrt{3}$ において、常に $-x^2 + 4x + 5 \ge x^2 + 1$ であるので、求める面積 $S$ は、

$S = \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} \{(-x^2 + 4x + 5) - (x^2 + 1)\} dx = \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (-2x^2 + 4x + 4) dx$

$S = \left[-\frac{2}{3}x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}$

$S = \left\{-\frac{2}{3}(1+\sqrt{3})^3 + 2(1+\sqrt{3})^2 + 4(1+\sqrt{3})\right\} - \left\{-\frac{2}{3}(1-\sqrt{3})^3 + 2(1-\sqrt{3})^2 + 4(1-\sqrt{3})\right\}$

$S = -\frac{2}{3}\{(1+\sqrt{3})^3 - (1-\sqrt{3})^3\} + 2\{(1+\sqrt{3})^2 - (1-\sqrt{3})^2\} + 4\{(1+\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3})\}$

$S = -\frac{2}{3}(1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3} - (1-3\sqrt{3}+9-3\sqrt{3})) + 2(1+2\sqrt{3}+3 - (1-2\sqrt{3}+3)) + 4(2\sqrt{3})$

$S = -\frac{2}{3}(6\sqrt{3}+6\sqrt{3}) + 2(4\sqrt{3}) + 8\sqrt{3}$

$S = -\frac{2}{3}(12\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$

$S = -8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

$S = \int_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}} (-2x^2+4x+4)dx = \left[ -\frac{2}{3} x^3 + 2x^2 + 4x \right]_{1-\sqrt{3}}^{1+\sqrt{3}}$

$=-\frac{2}{3} ((1+\sqrt{3})^3-(1-\sqrt{3})^3) + 2 ((1+\sqrt{3})^2 - (1-\sqrt{3})^2) + 4 ((1+\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3}))$

$=-\frac{2}{3} (1+3\sqrt{3}+9+3\sqrt{3} -(1-3\sqrt{3}+9-3\sqrt{3})) + 2 (1+2\sqrt{3}+3 - (1-2\sqrt{3}+3)) + 4 (1+\sqrt{3}-1+\sqrt{3})$

$=-\frac{2}{3} (6\sqrt{3}+6\sqrt{3}) + 2 (4\sqrt{3}) + 4(2\sqrt{3})$

$=-\frac{2}{3} (12\sqrt{3}) + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3}$

$=-8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} + 8\sqrt{3} = 8\sqrt{3} = 8 \times \frac{1}{6} (1+\sqrt{3}-(1-\sqrt{3}))^3$

別解：

$S = \int_{\alpha}^{\beta} -2(x - \alpha)(x - \beta)dx = \frac{2}{6} (\beta - \alpha)^3$

$\beta - \alpha = (1+\sqrt{3}) - (1-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$

$S = \frac{1}{3} (2\sqrt{3})^3 = \frac{1}{3} \cdot 8 \cdot 3 \sqrt{3} = 8\sqrt{3}$

3. 最終的な答え

$8 \sqrt{3}$