数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1$ は $4$ であり、漸化式が $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ で与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ があり、その初項 $a_1$ は $4$ であり、漸化式が $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ で与えられています。この数列の一般項 $a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n + 4$ から、階差数列を考えます。

階差数列を $b_n = a_{n+1} - a_n$ と定義すると、$b_n = 3n + 4$ となります。

$n \geq 2$ のとき、

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a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k

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ここで $b_k = 3k + 4$ なので、

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a_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k + 4) = 4 + 3 \sum_{k=1}^{n-1} k + \sum_{k=1}^{n-1} 4

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= 4 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} + 4(n-1) = 4 + \frac{3n^2 - 3n}{2} + 4n - 4

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= \frac{8 + 3n^2 - 3n + 8n - 8}{2} = \frac{3n^2 + 5n}{2}

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これは $n \geq 2$ のとき成り立つ式です。

$n = 1$ のとき $a_1 = \frac{3 \cdot 1^2 + 5 \cdot 1}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$ となり、$a_1 = 4$ と一致します。

したがって、すべての $n$ について $a_n = \frac{3n^2 + 5n}{2}$ が成り立ちます。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 + 5n}{2}$