問題203の(2)として、$y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

問題203の(2)として、$y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸、変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

(1) まず、導関数 $y'$ と $y''$ を計算する。

$y = x + \sin 2x$

$y' = 1 + 2\cos 2x$

$y'' = -4\sin 2x$

(2) $y' = 0$ となる $x$ を求める。

$1 + 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \frac{2}{3}\pi, \frac{4}{3}\pi$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

(3) $y'' = 0$ となる $x$ を求める。

$-4\sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

(4) 増減表と凹凸表を作成する。

| x | 0 | | $\frac{\pi}{3}$ | | $\frac{\pi}{2}$ | | $\frac{2\pi}{3}$ | | $\pi$ |

|-----------|------|----------|-------------------|----------|-------------------|----------|-------------------|----------|---------|

| y' | 3 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 3 |

| y'' | 0 | - | $-\frac{4\sqrt{3}}{2} = -2\sqrt{3}$ | - | 0 | + | $2\sqrt{3}$ | + | 0 |

| y | 0 | $\nearrow$ | $\frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\searrow$ | $\frac{\pi}{2}$ | $\nearrow$ | $\frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\nearrow$ | $\pi$ |

| 凹凸 | | $\cap$ | | $\cap$ | inflection | $\cup$ | | $\cup$ | |

(5) 増減表と凹凸表から、グラフの概形を考える。

$x = \frac{\pi}{3}$ で極大値 $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{2\pi}{3}$ で極小値 $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$ で変曲点

変曲点はそれぞれ $(0, 0), (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), (\pi, \pi)$

(6) グラフを描く。

3. 最終的な答え

グラフの概形（説明は上記参照）。