曲線 $y = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$ と、この曲線上の点 $(3, -6)$ における接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$ と、この曲線上の点 $(3, -6)$ における接線で囲まれた図形の面積 $S$ を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点 $(3, -6)$ における接線の式を求めます。

与えられた関数を $f(x) = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$ とすると、その導関数は $f'(x) = 3x^2 - 10x + 2$ となります。

点 $(3, -6)$ における接線の傾きは、 $f'(3) = 3(3)^2 - 10(3) + 2 = 27 - 30 + 2 = -1$ です。

したがって、接線の式は $y - (-6) = -1(x - 3)$、つまり $y = -x - 3$ となります。

次に、曲線 $y = x^3 - 5x^2 + 2x + 6$ と接線 $y = -x - 3$ の交点を求めます。

$x^3 - 5x^2 + 2x + 6 = -x - 3$ を解きます。

$x^3 - 5x^2 + 3x + 9 = 0$

$(x - 3)^2 (x + 1) = 0$

したがって、$x = 3$ (重根) または $x = -1$ です。

よって、交点の $x$ 座標は $3$ と $-1$ となります。

次に、囲まれた図形の面積 $S$ を計算します。

$S = \int_{-1}^{3} \{(x^3 - 5x^2 + 2x + 6) - (-x - 3)\} dx$

$S = \int_{-1}^{3} (x^3 - 5x^2 + 3x + 9) dx$

$S = \left[ \frac{1}{4}x^4 - \frac{5}{3}x^3 + \frac{3}{2}x^2 + 9x \right]_{-1}^{3}$

$S = \left( \frac{1}{4}(3)^4 - \frac{5}{3}(3)^3 + \frac{3}{2}(3)^2 + 9(3) \right) - \left( \frac{1}{4}(-1)^4 - \frac{5}{3}(-1)^3 + \frac{3}{2}(-1)^2 + 9(-1) \right)$

$S = \left( \frac{81}{4} - 45 + \frac{27}{2} + 27 \right) - \left( \frac{1}{4} + \frac{5}{3} + \frac{3}{2} - 9 \right)$

$S = \frac{81}{4} - 18 + \frac{27}{2} - \frac{1}{4} - \frac{5}{3} - \frac{3}{2} + 9$

$S = \frac{80}{4} - 9 + \frac{24}{2} - \frac{5}{3} = 20 - 9 + 12 - \frac{5}{3} = 23 - \frac{5}{3} = \frac{69 - 5}{3} = \frac{64}{3}$

3. 最終的な答え

$\frac{64}{3}$