関数 $y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

1. 問題の内容

関数 $y = x + \sin 2x$ ($0 \le x \le \pi$) の増減、極値、グラフの凹凸および変曲点を調べて、グラフの概形を描く。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を微分して、$y'$ および $y''$ を求めます。

$y = x + \sin 2x$

$y' = 1 + 2\cos 2x$

$y'' = -4\sin 2x$

次に、$y' = 0$ となる $x$ を求めます。

$1 + 2\cos 2x = 0$

$\cos 2x = -\frac{1}{2}$

$2x = \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}$

$x = \frac{\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}$

次に、$y'' = 0$ となる $x$ を求めます。

$-4\sin 2x = 0$

$\sin 2x = 0$

$2x = 0, \pi, 2\pi$

$x = 0, \frac{\pi}{2}, \pi$

増減表を作ります。

| x | 0 | | $\pi/3$ | | $\pi/2$ | | $2\pi/3$ | | $\pi$ |

|---------|------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|----------|---------|

| y' | 3 | + | 0 | - | -1 | - | 0 | + | 3 |

| y'' | 0 | - | -2√3 | - | 0 | + | 2√3 | + | 0 |

| y | 0 | ↗ (convex) | π/3 + √3/2 | ↘ (convex) | π/2 | ↘ (concave) | 2π/3 - √3/2 | ↗ (concave) | π |

極大値：$x = \frac{\pi}{3}$ のとき $y = \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

極小値：$x = \frac{2\pi}{3}$ のとき $y = \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

変曲点：$x = 0$ のとき $y = 0$, $x = \frac{\pi}{2}$ のとき $y = \frac{\pi}{2}$, $x = \pi$ のとき $y = \pi$

3. 最終的な答え

極大値：$(\frac{\pi}{3}, \frac{\pi}{3} + \frac{\sqrt{3}}{2})$

極小値：$(\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3} - \frac{\sqrt{3}}{2})$

変曲点：$(0, 0), (\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}), (\pi, \pi)$

グラフの概形は省略。上記の情報を元に描いてください。