関数 $f(x, y)$ が与えられたとき、点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $l = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数に対して、方向微分係数を計算します。 (1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$ (2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|xy|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

1. 問題の内容

関数 $f(x, y)$ が与えられたとき、点 $(0, 0)$ における方向ベクトル $l = (\cos\theta, \sin\theta)$ 方向の微分係数 $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0)$ を求める問題です。具体的には、以下の3つの関数に対して、方向微分係数を計算します。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|xy|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$

2. 解き方の手順

方向微分係数の定義は、

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{f(0 + t \cos\theta, 0 + t \sin\theta) - f(0, 0)}{t}$

で与えられます。これを用いて各関数について計算します。

(1) $f(x, y) = \cos x + \sin y$の場合

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos\theta) + \sin(t \sin\theta) - (\cos 0 + \sin 0)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos\theta) + \sin(t \sin\theta) - 1}{t}$

$\lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos\theta) - 1}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\cos(t \cos\theta) - 1}{t \cos\theta} \cos\theta = 0 \cdot \cos\theta = 0$

$\lim_{t \to 0} \frac{\sin(t \sin\theta)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin(t \sin\theta)}{t \sin\theta} \sin\theta = 1 \cdot \sin\theta = \sin\theta$

よって、$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0 + \sin\theta = \sin\theta$

(2) $f(x, y) = \begin{cases} \frac{|xy|}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{|t \cos\theta \cdot t \sin\theta|}{\sqrt{(t \cos\theta)^2 + (t \sin\theta)^2}} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{\frac{t^2 |\cos\theta \sin\theta|}{\sqrt{t^2(\cos^2\theta + \sin^2\theta)}}}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 |\cos\theta \sin\theta|}{t |t|} = \lim_{t \to 0} \frac{|t||\cos\theta \sin\theta|}{|t|}= |\cos\theta \sin\theta| = \frac{1}{2}|\sin(2\theta)|$

(3) $f(x, y) = \begin{cases} xy \sin \frac{1}{\sqrt{x^2 + y^2}} & (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ の場合

$\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \lim_{t \to 0} \frac{(t \cos\theta)(t \sin\theta) \sin \frac{1}{\sqrt{(t \cos\theta)^2 + (t \sin\theta)^2}} - 0}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{t^2 \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|}}{t} = \lim_{t \to 0} t \cos\theta \sin\theta \sin \frac{1}{|t|} = 0$

なぜならば、$\sin \frac{1}{|t|}$ は $t \to 0$ で振動するが、有界（-1から1の間）だから、$t \to 0$ で 0 に収束する。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \sin\theta$

(2) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = \frac{1}{2}|\sin(2\theta)|$

(3) $\frac{\partial f}{\partial l}(0, 0) = 0$