関数 $y = -3(x+2)^2 + 2c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最小値が $-18$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = -3(x+2)^2 + 2c + 1$ の $-1 \le x \le 1$ における最小値が $-18$ であるとき、定数 $c$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた関数は、上に凸な放物線である。

軸は $x = -2$ である。定義域 $-1 \le x \le 1$ において、軸から最も遠い $x$ の値で最小値を取る。

したがって、$x = 1$ のとき、最小値を取る。

$x = 1$ を関数に代入すると、

$y = -3(1+2)^2 + 2c + 1 = -3(3)^2 + 2c + 1 = -27 + 2c + 1 = 2c - 26$

最小値が $-18$ であるから、

$2c - 26 = -18$

$2c = -18 + 26$

$2c = 8$

$c = 4$

3. 最終的な答え

$c = 4$